Fubini-Tonelli

[PIELEO13]

Buona sera a tutti, sto cercando di risolvere un esercizio HARD proposto dal professore alla lezione 031 di Analisi Matematica 2, anno 2017/2018. Ecco il testo:
Ricordiamo l'enunciato del teorema di Fubini-Tonelli
Sia \(f \colon \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}\) una funzione limitata e nulla fuori da un limitato. Allora:

\(\displaystyle\iint_{* \, \mathbb{R}^2} \, f(x,y) \, dx \, dy \le \int_{* \, \mathbb{R}} dx \int_{* \, \mathbb{R}} f(x,y) \, dy \le \int_{\mathbb{R}}^{*} dx \int_{ \mathbb{R}}^{*} f(x,y) \, dy \le \iint_{\mathbb{R}^2}^{*} \, f(x,y) \, dx \, dy\)

dove gli asterischi indicano gli integrali superiori e inferiori nella definizione di integrabilita' alla Darboux.
L'esercizio chiede di trovare una funzione \(f(x, y)\) tale che nelle disuguaglianze compaiano 4 numeri distinti. Qualcuno sa aiutarmi?

[Lorececco]

Una possibile soluzione si ottiene mescolando gli ingredienti contenuti in quella lezione. Sia \(A=[0,3]\times[0,1]\), D un denso di \([0,1]\times[0,1]\) che interseca al più una volta ogni retta orizzontale/verticale e sia \(f\) la funzione così definita: nel primo quadrato (\([0,1]\times[0,1]\)) fa -1 su un denso (D) e 0 altrove; sul secondo quadrato è Dirichlet; sul terzo, infine, fa 1 su un denso (D traslato, diciamo) e 0 altrove. Allora questa funzione dovrebbe avere i quattro integrali che valgono \(-1<0<1<2\), se non ho sbagliato i conti. Per avere numeri arbitrari basta ritoccare un po' la funzione e/o l'insieme di definizione

[PIELEO13]

Grande Lore!