CdV - Segnalazione errori nelle lezioni

[Carmine]

A pagina 2, poi, all'inizio della dimostrazione manca un punto sopra [tex]u_n[/tex] e inoltre a voce dice che la convergenza è debole in [tex]L^2[/tex], e scrive [tex]L^{\infty}[/tex]... è la stessa cosa?

[Carmine]

Lezione 48, all'inizio della lezione forse c'è un errore di stampa nel secondo esempio di problema di minimo... infatti il minimo sarebbe sempre lo stesso, e il problema a mio avviso non sarebbe interessante. L'esempio in questione è questo:

[tex]\displaystyle \min \left\{ \left. \varepsilon^2 \int_0^1 \dot{u}^2 + \cos u \ dx \ \right| \ u \in C^1([0,1]) \ , \ u(0)=0 \ \right\}[/tex]

Forse voleva dire ciò?

[tex]\displaystyle \min \left\{ \left. \int_0^1 \varepsilon^2 \dot{u}^2 + \cos u \ dx \ \right| \ u \in C^1([0,1]) \ , \ u(0)=0 \ \right\}[/tex]

Poi, un po' più avanti, si afferma che [tex]F_{\varepsilon}(u_{\varepsilon}) \ge G(a)[/tex], con [tex]G[/tex] quella primitiva particolare, ma sono abbastanza sicuro che sia scappato un fattore 2, e che quindi sia:

[tex]F_{\varepsilon}(u_{\varepsilon}) \ge 2 G(a)[/tex]

Mi viene allora da pensare che:

[tex]\lim_{\varepsilon \to 0^+} \min \{ F_{\varepsilon}(u) \mid u(0)=0 \} = 2 G(1)[/tex]

però vorrei una conferma, soprattutto per quanto riguarda la disuguaglianza che coinvolge l'arcotangente iperbolica, visto che i conti non sono stati sviluppati esplicitamente.

EDIT: a giudicare dalle cose dette alla fine della lezione, mi vien da pensare che il fattore 2 si sia perso nella definizione della funzione G...

[Massimo Gobbino]

Lezione 47. All'inizio, non è errato dire che la convergenza debole in [tex]L^1[/tex] è la più debole di tutte, quindi si ha convergenza debole anche in [tex]L^p[/tex]?

Detta così l'implicazione è ovviamente falsa: c'è sotto il discorso della equilimitatezza come nella proposizione della lezione 35.

[Massimo Gobbino]

A pagina 2, poi, all'inizio della dimostrazione manca un punto sopra [tex]u_n[/tex] e inoltre a voce dice che la convergenza è debole in [tex]L^2[/tex], e scrive [tex]L^{\infty}[/tex]... è la stessa cosa?

È ben noto che tutti i docenti pensano x, dicono y, e scrivono z ... e spesso sono 3 cose distinte! In questo caso ovviamente si tratta di [tex]L^2[/tex]: la debole in [tex]L^{\infty}[/tex] è qualcosa di immondo che sicuramente non riguarda questa parte

[Massimo Gobbino]

Veniamo alla lezione sul Modica-Mortola. Certamente l'esempio al secondo rigo ha l'epsilon solo davanti alla parte di derivata, altrimenti è banale. Forse sarebbe anche meglio mettere un [tex]\cos u+1[/tex], in modo che i pozzi siano a quota 0: dal punto di vista dei minimizers non cambia nulla, ma quando si va a riscalare è meglio così.

Quanto al fattore 2, la pagina 2 è corretta, ma ovviamente sostituendo la disuguaglianza in fondo nella formula con la stella bisogna tenere conto del 2, cosa che nelle pagine successive non ho fatto (ad esempio, in fondo a pagina 3 ci sarebbe il fattore 2). Il conto con la tanh non mi pare dipendere dai fattori 2, perché semplicemente si impone l'uguaglianza tra i due termini della AM--GM.

[Lorenzo Portinale]

Salve a tutti,
In riferimento alla lezione 38 sul rilassamento dei funzionali integrali sotto ipotesi di convessità e di crescita, c'è un piccolo errore nella dimostrazione del lemma delle affini a tratti come denso in energia per il funzionale che si claima essere il rilassato.
Infatti in quel lemma, in realtà non serve usare davvero la crescita (invece fondamentale nel passo precedente della gamma convergenza per fare liminf inequality e guadagnarsi la convergenza debole delle derivate).
Nelle ipotesi del teorema abbiamo già richiesto che u stia in H1 (tanto per la limsup ci basta mostrare che sia denso in energia in 1 rispetto alla metrica L2), dunque non dobbiamo usare la crescita per guadagnarlo (Come invece viene scritto nella dimostrazione, al primo passaggio).
Dunque credo che il teorema non necessiti della crescita, che invece risulta fondamentale nella liminf inequality: infatti i casi "patologici"in cui viene a mancare la crescita e in cui il rilassato NON viene l'integrale della convessificata, quello che viene meno è proprio la liminf inequality (esistono funzioni non in H1 con rilassato finito).
Naturalmente lo segnalo e invito ad aspettare eventuale ulteriori conferme dal professor Gobbino.

Lorenzo

[Massimo Gobbino]

Uhm, faccio fatica a ritrovarmi ... Il Lemma in questione è alla lezione 37, a pagina 179 dello stampato integrale. Lì in effetti la crescita non serve a nulla, se non a dare un qualche significato a u'. Si potrebbe enunciare in maggiore generalità dicendo che se l'integranda è convessa e u è derivabile debolmente (con derivata prima in L1), allora esiste una successione per cui il limsup è minore od uguale del funzionale calcolato in u (che poi in realtà vuol dire che è un limite ed è uguale per via del teorema di pagina 173), da cui la densità in energia.

Il Lemma entra poi in gioco nel teorema di pagina 183 (questo sì alla lezione 38), dove serve la crescita nella parte liminf, ma non nella parte limsup che segue dal lemma precedente.

Grazie per la puntualizzazione: in quelle due ore ero partito per descrivere il teorema generale con la formula per il rilassato e quindi le due ipotesi le mettevo ovunque, anche se servono giustamente solo su una parte.

[Lorenzo Portinale]

Certamente, ho errato io la lezione avendo in mente entrambi gli argomenti. È chiaramente come dice lei, la lezione è la 37.
La ringrazio molto della conferma.

[Carmine]

Tornando al Modica-Mortola, comunque, a cavallo tra pagina 1 e pagina 2 io cambierei notazione, visto che [tex]F_{\varepsilon}[/tex] poi diventa lui fratto [tex]\varepsilon[/tex]...

[FabioC]

Buongiorno, vorrei segnalare quello che secondo me è un errore nella dimostrazione Q quadratico non negativo + \(L^+\)+ coefficienti C1 implica J (lezione 26 2017-2018). Si costruisce una funzione v non C^1, si dice che Q(v)=0 e allora v è un punto di minimo --> soddisfa JDE ma non può farlo in quanto non C^2. A me pare che l'implicazione non sia corretta, perchè il punto di minimo soddisfa JDE se si può passare dalla forma integrale di ELE a quella differenziale, ovvero se tale minimo è abbastanza regolare, ma sappiamo già che non lo è. E non vedo contraddizioni, dato che v soddisfa tranquillamente le due forme integrali.
Stando così le cose mi pare che non sia facile sistemare la dimostrazione, sbaglio?

[Massimo Gobbino]

Eheh, mea culpa. Sono stato un po' "sloppy" in quel passaggio , e tutti quelli che preparano seriamente l'esame arrivano prima o poi a chiedere ...

Le cose fortunatamente si sistemano, in almeno due modi diversi. Qui sotto metto solo un paio di aiutini, ma se servono più dettagli basta chiedere.

[+] Uscita_Cannonara

Si pensa all'equazione ELE in \(H^1\), ripercorrendo tutti i passaggi che portano alla regolarità.

[+] Uscita_Elementare

Cerchiamo di usare solo il metodo indiretto, come se fossimo alle prime 5 lezioni. Usando funzioni test che si annullano nel punto in questione, scopriamo che la v costruita risolve ELE classica a destra e a sinistra. Usando ora funzioni test che non si annullano nel punto in questione, troviamo una relazione del tipo

\(L_p(x_0,v(x_0),v'(x_0-))=L_p(x_0,v(x_0),v'(x_0+))\)

dove \(x_0\) è il punto incriminato, e \(v'(x_0-)\) e \(v'(x_0+)\) sono i valori della derivata a sinistra e destra. Sfruttando la stretta monotonia di \(L_p\) rispetto all'ultima variabile si ha subito un assurdo.

L'ultimo trucchetto è abbastanza generale, e ci dice che quando la Lagrangiana è strettamente convessa rispetto alla derivata non ci possono essere minimi che sono \(C^1\) a tratti senza esserlo in toto.

[FabioC]

Mi torna, grazie mille!

[FabioC]

Un'altra cosa di cui non riesco a venire a capo, nonostante ci abbia provato per un po': quando nella lezione 37 si parla di estensione per rilassamento, per dimostrare che il presunto rilassato è SCI si prende una successione \(u_n\) --> \(u_\infty\) e si mostra facilmente che se il liminf non è infinito allora \(u_\infty\) è una sobolev e c'è una sottosuccessione delle derivate deboli delle \(u_n\) che tende alla derivata debole di \(u\). Per guadagnare la semicontinuità del funzionale avrei però bisogno della convergenza debole di tutta la successione delle derivate deboli, poiché il liminf su una sottosuccessione è in generale più grande. Come ne esco?

[Massimo Gobbino]

Come ne esco?

Al solito modo !

Prima estrai dalla \(u_n\) una sottosuccessione per cui il liminf è in realtà un limite, poi da quella estrai nuovamente per far convergere debole le derivate deboli, ed il liminf che viene fuori non fa più male a nessuno.

[FabioC]

Ok, perfetto. Stavo cercando di dimostrare una cosa falsa che però avrebbe remato contro la mia tesi