Non so se ho inteso bene l'esercizio, ma posto una mia risoluzione.Descrivere una base delle spazio vettoriale delle matrici 2×2 a coefficienti reali.
Ciò che ho inteso è: ''come costruisco da 0 una base qualsiasi di una matrice 2x2?''
Risoluzione:
Sia A una matrice 2x2.
\(A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\)
Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori \(\{v1, v2, v3, v4\}\) per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose:
1) che la combinazione lineare sia indipendente
2) che i vettori siano generatori di A, cioè che \(Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4\)
Inizio dalla prima:
la combinazione lineare indipendente corrisponde a:
\(a\begin{pmatrix} x1&x2\\ x3&x4 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} x5&x6\\ x7&x8 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} x9&x10\\ x311&x12 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} x13&x14\\ x15&x16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
Che corrisponde al sistema:
\(\begin{cases} ax1+bx5+cx9+dx13 = 0 \\ ax2+bx6+cx10+dx14 = 0 \\ ax3+bx7+cx11+dx15= 0 \\ ax4+bx8+cx12+dx16=0\end{cases}\)
In forma matriciale:
\(\begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\1&1&1&1&0 \end{pmatrix}\)
Risolta, si verifica il fatto che sia indipendente poichè:
\(\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}\)
Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.
Il problema è che non so se ho interpretato l'esercizio e/o non l'ho fatto correttamente. Ringrazio tutti in anticipo.
-Federico
