integrale triplo di z^2

[Valerio]

l' integrale triplo di \(z^2\) su questo insieme come si può impostare? Ho provato a dividere l'insieme d'integrazione in 2 parti, 1 cilindro sul quale uso le coordinate cilindriche e per la calotta sferica ho provato ad usare le coordinate sferiche dato che mi sembrava la via più naturale. Tuttavia mi pare che vengano fuori dei calcoli un po' complicati da gestire... qualche consiglio?

[GIMUSI]

per semplificare potresti provare a sfruttare il fatto che l'integrale su \(z^2\) è la metà di quello calcolato su \(y^2+z^2=\rho^2\) e utilizzare le coordinate cilindriche

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento secondo la strategia indicata

[Valerio]

Ottimo sfruttare la simmetria su \(z^2+y^2\) Anche perché ho provato a fare le coordinate cilindriche su V con x tra -√3 e √3, l'angolo tra 0 e 2π, P tra √(1+x^2) e 2, poi ho riscritto \(z^2\) come \(P^2-x^2\) e il risultato finale torna 44√3π/5 esattamente il doppio di quello che dovrebbe essere..... Strano.

[GIMUSI]

...ho provato a fare le coordinate cilindriche su V con x tra -√3 e √3, l'angolo tra 0 e 2π, P tra √(1+x^2) e 2, poi ho riscritto \(z^2\) come \(P^2-x^2\) e il risultato finale torna 44√3π/5 esattamente il doppio di quello che dovrebbe essere..... Strano.

non ho capito perché hai riscritto z in quel modo

[Valerio]

...ho provato a fare le coordinate cilindriche su V con x tra -√3 e √3, l'angolo tra 0 e 2π, P tra √(1+x^2) e 2, poi ho riscritto \(z^2\) come \(P^2-x^2\) e il risultato finale torna 44√3π/5 esattamente il doppio di quello che dovrebbe essere..... Strano.

non ho capito perché hai riscritto z in quel modo

Ho usato il teorema di Pitagora, cioè p^2=x^2+z^2 e da questo segue p compreso tra 2 e √(1+x^2), l'uno viene fuori dal fatto che z vale +1 e -1 lungo la cavità interna di V

[GIMUSI]

...Ho usato il teorema di Pitagora, cioè p^2=x^2+z^2 e da questo segue p compreso tra 2 e √(1+x^2), l'uno viene fuori dal fatto che z vale +1 e -1 lungo la cavità interna di V

c'è qualcosa che non va, se stai usando le coordinate cilindriche con x come asse allora \(\rho\) è parallelo al piano y,z