Punti singolari e di taglio

[Mattia]

Buongiorno a tutti. Sono uno studente di Meccanica della Prof. Ghisi, ma non ho potuto seguire il corso. Non ho ben capito come cercare i punti singolari e i punti di taglio su domini limitati e sono abbastanza in confusione a riguardo. Nell'archivio didattico del Prof. Gobbino, precisamente la lezione AM2_16_L020 pag3 nella sezione di Matematica c'è un esempio di utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange, in particolar modo la risoluzione del 1°sistema, se ho rango massimo che succede? Se ho rango minore del massimo rango che succede? Come classifico i punti? Su degli appunti di uno studente della Professoressa Ghisi nel corso di Meccanica trovo un procedimento analogo nel calcolo dei punti singolari per una funzione su un dominio limitato nel caso abbia 2 moltiplicatori. Se il 1°sistema è impossibile e quindi la matrice ha rango minore del massimo rango, è possibile che per un rango massimo io abbia dei punti? Se si, che punti sono? Per quanto riguarda i punti di taglio, supponendo che io abbia 2 vincoli descritti da disuguaglianze e delle restrizioni sugli assi ad esempio x,y,z>=0, i punti di taglio li trovo mettendo a sistema i 2 vincoli rispettivamente con le condizioni sugli assi? Spero di essermi spiegato bene e ringrazio chi saprà aiutarmi. edit: So che i punti singolari sono quei punti in cui non esistono le derivate parziali della funzione.

[GIMUSI]

ti consiglierei innanzitutto di guardare attentamente le lezioni inerenti all'argomento di AM2 del prof. Gobbino per ingegneria 2013/14 (non solo il pdf ma anche i video)

successivamente puoi anche dare un'occhiata agli esercizi risolti che trovi qui nel forum nella sezione "Calcolo Differenziale in più variabili"

[Mattia]

Grazie mille, la sezione PDF l'ho spulciata tutta, adesso darò un'occhiata ai video che non ci avevo pensato. Riguardo gli esercizi sul forum ne ho letti parecchi ma purtroppo non hanno risolto i miei dubbi, soprattutto per quello che riguarda i punti singolari. Comunque ora vedrò i video sperando di fare un pò di chiarezza. Grazie mille

[ghisi]

Rispondere completamente e in maniera precisa al tuo messaggio è praticamente impossibile (è il contenuto di più di una lezione...)

Quando parli di moltiplicatori di Lagrange vuol dire che stai cercando i punti di massimo e/o minimo su di un BORDO e che hai già dimostrato in altro modo che esistono. A questo punto i punti di massimo e/o minimo si trovano fra i punti singolari, quelli di taglio e i punti in cui puoi fare i moltiplicatori. Questi punti non li devi classificare, semplicemente una volta che li hai trovati tutti, in essi calcoli la funzione e confronti i valori. Ad esempio nel caso di cui parli, cioè due moltiplicatori, i punti singolari sono quelli in cui la matrice non ha rango massimo (quindi il primo sistema ha soluzione) e dunque non puoi applicare i moltiplicatori. Quando hai rango massimo (cioè il primo sistema non ha soluzione) devi trovare i punti che risolvono il secondo sistema.

Per quanto riguarda i punti di taglio, supponendo che io abbia 2 vincoli descritti da disuguaglianze e delle restrizioni sugli assi ad esempio x,y,z>=0, i punti di taglio li trovo mettendo a sistema i 2 vincoli rispettivamente con le condizioni sugli assi?

Non so se ho ben capito quello che intendi. Se hai ad esempio \(x^2 + y^2 +z^2 = 1, \, x+y+z = 0, \, x\geq 0, \, y\geq 0\) i punti di taglio si ottengono risolvendo setaratamente il sistema \(x^2 + y^2 +z^2 = 1, \, x+y+z = 0, \, x= 0, \, y\geq 0\) e il sistema \(x^2 + y^2 +z^2 = 1, \, x+y+z = 0, \, x\geq 0, \, y= 0\).

edit: So che i punti singolari sono quei punti in cui non esistono le derivate parziali della funzione.

Con singolari sul bordo si intendono di solito anche i punti in cui non è possibile applicare i moltiplicatori ("quelli che risolvono il primo sistema").

P:S: I quesiti che riguardano il calcolo differenziale in più variabili vanno nella sezione apposita...