Indeterminatezza della serie

[Mondo]

Se io volessi dimostrare che una serie è indeterminata, ad esempio la serie di sin n, uso un procedimento simile all'integrale improprio?

(prendo 2 sottosuccessioni e vedo che le serie delle due sottosuccessioni vanno a 2 limiti diversi...)

[Massimo Gobbino]

(prendo 2 sottosuccessioni e vedo che le serie delle due sottosuccessioni vanno a 2 limiti diversi...)

Sì, ma attenzione: le 2 sottosuccessioni le devi prendere nella successione delle somme parziali, non nella successione che stai sommando.

Adesso il caso della serie di sin (nx) è particolarmente fortunato perché è uno dei pochi casi in cui c'è una formula esplicita per le somme parziali (trovarla è un esercizio carino sui numeri complessi).

[Mondo]

Il caso della serie di sin (nx) è particolarmente fortunato perché è uno dei pochi casi in cui c'è una formula esplicita per le somme parziali (trovarla è un esercizio carino sui numeri complessi).

(pi è ancora una volta pigreco)
Se non mi sbaglio, la somma dovrebbe essere
Im ((e^(ix(n+1))-1)/(e^(ix)-1))...
Per le sottosuccessioni avevo pensato a
i) (2kpi)/x e qui il limite fa 0
ii) (2kpi+pi/2)/x e qui il limite fa un'atrocità con sin e cos vale a dire
(1-cosx+sinx)/(2-2cosx)
E ora?
Devo trovare una terza sottosuccessione in cui il limite non fa zero per quei valori di x tali che (1-cosx+sinx) si annulla?

[Massimo Gobbino]

Sì, qualcosa del genere.

[Mondo]

ooops messaggio modificato...

[Massimo Gobbino]

Per le sottosuccessioni avevo pensato a
i) (2kpi)/x e qui il limite fa 0
ii) (2kpi+pi/2)/x e qui il limite fa un'atrocità con sin e cos vale a dire
(1-cosx+sinx)/(2-2cosx)

Ma a chi vorresti sostituire quei valori?

[Mondo]

Ma a chi vorresti sostituire quei valori?

Io sostituirei a n osservando che per k tendente a +oo tutte quelle quantità sono infinite

[Massimo Gobbino]

tutte quelle quantità sono infinite

e soprattutto ... intere

[Mondo]

e soprattutto ... intere

Mi sa che non ho capito.
Non posso fare un cambio funzione->successione?

[Massimo Gobbino]

Non posso fare un cambio funzione->successione?

Ehm, il fatto che sin x non ha limite per x che tende a + infinito non basta per concludere che sin n non ha limite come successione ...

[Mondo]

è vero.
E allora come si fa a mostrare che questa serie è indeterminata?

[Mondo]

Ad esempio per mostrare che sin n è indeterminata potrei ragionare per assurdo:
se sin n ha limite (e se c'è l'ha, è per forza finito) allora sin n = sin 2n e dunque cos n =1/2 il che implica che il limite supposto può essere solo sqrt(3)/2
E ora mi basta vedere che sin n non sta definitivamente tra sqrt(3)/2-epsilon e sqrt(3)/2+epsilon.
Un procedimento del genere fa bene? Lo posso applicare pure alla mia serie?

[Massimo Gobbino]

allora sin n = sin 2n e dunque cos n =1/2

Questo è un misto tra un brutale ed un limite metà per volta, che mi disgusta. Tuttavia, con un po' di pazienza si potrebbe rendere un minimo rigoroso (per cui alla fine l'idea non è male).

Comunque, il trucco per far vedere che questi limiti non esistono è far vedere (per esempio) che sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1, il che segue dal fatto che i naturali (visti come radianti sulla circonferenza trigonometrica) sono infinite volte vicino a \pi/2 e infinite volte vicini a 3\pi/2.

[Mondo]

Ok, provo a rendere il tutto più rigoroso...

sia b_n= sin 2n una sottosuccessione di a_n= sin n.
b_n= sin 2n= 2sin n cos n= [a meno di un segno + o -]2sin n sqrt (1-sin^2 n).
Supponiamo che il limite di a_n esista. Se esiste, è finito perchè la successione è limitata sia superiormente che inferiormente. Chiamiamo questo limite L.
Anche b_n dovrà tendere ad L e visto che sin n tende pure a L abbiamo che [sempre a meno di quel segno + o -] L= 2L sqrt(1-L^2) e dunque si può solo avere che L=0, L=+sqrt(3)/2 , L=-sqrt(3)/2.
A questo punto applico la definizione di limite e concludo...
Va bene?

E, rigorosamente, come faccio a dire che

sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1

?

[superskunk]

E, rigorosamente, come faccio a dire che

sin n è infinite volte vicino a 1 ed infinite volte vicino a -1

?

penso il professore si riferisse al fatto che sin(pigreco/2 + 2kpigreco) fa sempre uno e sin(3/2pigreco + 2kpigreco) fa sempre -1.....fai 2 sottosuccessioni che rispecchiano questi valori e hai dimostrato che il limite non esiste..