problema

[francicko]

Sia f (x) una funzione convessa definita in R ed ivi deriva bile, tale che limite per x-> ad infinito di f (x) risulti uguale a -1 dimostrare che limite per x tendente a infinito di f ' (x) risulta uguale a zero; lo si può dimostrare con Hopital italiano ma mi chiedevo e' possibile dimostrarlo con il teorema di Lagrange?

[GIMUSI]

non l'ho fatto ma direi di sì con lagrange si dovrebbe mostrare facilmente...e non mi pare che la convessità serva...non ho capito invece come faresti con l'hopital

[Massimo Gobbino]

La convessità serve per dire che la derivata prima è monotona, dunque ammette limite. A quel punto la dimostrazione si fa con Lagrange. Si tratta sostanzialmente di una caso speciale del teorema dell'asintoto (vedi per esempio lezioni AM2_16).

[francicko]

x@GIMUSI;
Sì effettivamente hai ragione, anch'io non ho capito bene come lo si può dimostrare con Hopital , anche se viene suggerito, inoltre se considero il limite sempre x-> ad infinito di f (x)/x non da una forma indeterminata,
il fatto che la funzione sia convessa mi dice che la derivata prima e' crescente ed ha quindi limite, d'altronde f (x) e' sempre decrescente visto che ha l' asintoto orizzontale y=-1,
pertanto comunque fissato un punto b>a dove f (a)=0, in quanto sicuramente la funzione interseca l'asse delle ascisse, considero l'intervallo [b,x], ed applico Lagrange quindi (f(x)-f (b))/(x-b)=f'(c) con c interno ad (b,x), ora facendo tendere x ad infinito tale rapporto tende evidentemente a zero, visto che f (x)->-1, ed a e' fissato,
Per cui essendo f'(x) crescente posso concludere che il limite di f'(x) per x-> infinito e' zero, mi sbaglio?
Non sono riuscito a trovare gli appunti sul teorema dell ' asintoto indicati dal Professor Gobbino, mi interesserebbe conoscere la soluzione con Lagrange, e se il teorema di Hopital possa servire anch'esso per una soluzione;
Grazie!

[Massimo Gobbino]

Il teorema dell'asintoto è alla lezione 110 di Analisi 2 del 2015/2016. Anche se il corso è di Analisi 2, si tratta comunque di un teorema di pura Analisi 1.

Certamente si può risolvere l'esercizio anche con l'Hopital. Consideriamo il limite di f(x)/x. Il denominatore è crescente e tende all'infinito, quindi si può applicare l'Hopital nella forma più generale. Il rapporto tra le derivate è f'(x), e questo ha limite per via della convessità. Dunque tale limite, che è il limite di f'(x), deve essere uguale al limite del rapporto f(x)/x, che sappiamo essere uguale a 0 non essendo nemmeno una forma indeterminata.

Sono due soluzioni interessanti, anche se forse quella con Lagrange (come nel teorema dell'asintoto) è più elementare.

[francicko]

Messaggio errato.

[francicko]

Grazie per le risposte!!
Mi chiedevo dato che Hopital si basa sul teorema di Cauchy, e dato che la funzione a denominatore e' y=x, alla fine non e' come ricondursi a Lagrange?
Inoltre nella dimostrazione con Lagrange come faccio a far vedere che se x tende ad infinito anche il punto c di f'(c), dipendente da x deve andare anch'esso ad infinito?
Hanno senso queste osservazioni?

[Massimo Gobbino]

Inoltre nella dimostrazione con Lagrange come faccio a far vedere che se x tende ad infinito anche il punto c di f'(c), dipendente da x deve andare anch'esso ad infinito?

Non penso che si possa concludere la dimostrazione come l'hai iniziata qualche post qui sopra, perché appunto non si riesce a fare vedere che c tende all'infinito. Volendo procedere con Lagrange, bisogna fare come nel teorema dell'asintoto.

[francicko]

Scusi se insisto, quando ha tempo, mi potrebbe illustrare come si procede se si vuole utilizzare Lagrange?
E quindi il teorema dell'asintoto, perche' ancora non ho le idee chiare.
Grazie!!

[francicko]

Quale può essere il grafico di una funzione siffatta?
Non dovrebbe somigliare ad un arco di parabola decrescente che per x->+infty si avvicina asintoticamente alla retta y=-1(asintoto orizzontale)?

[C_Paradise]

Un esempio potrebbe essere \(f(x)=e^{-x}-1\)

[francicko]

Un esempio potrebbe essere \(f(x)=e^{-x}-1\)

Ok! Grazie!

[C_Paradise]

Provo a risponderti, comunque trovi questa proposizione nello stampato integrale di analisi 2 dell'anno scorso.

Nel caso in esame consideri \(f(n+1)-f(n) = f'(c_n)\) dove \(c_n \in (n,n+1)\) e questo è il teorema di Lagrange

A questo punto ottieni

\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f'(c_n) = \lim_{n \to +\infty} f(n+1)-f(n) = 0\)

dove la prima uguaglianza segue dalla riga precedente

e la seconda segue dall'ipotesi che \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = l \in \mathbb{R}\) il fatto che in questo caso \(l=-1\) non ha alcuna importanza.

Ora essendo \(f\) derivabile e convessa sappiamo che esiste \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) \in \mathbb{R} \cup {+\infty}\) quindi comunque presa \(c_n \to +\infty\) deve succedere che

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{n \to +\infty} f'(c_n)\)

In particolare scegliendo \(c_n\) come quella del teorema di Lagrange dell'inizio si trova

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{n \to +\infty} f'(c_n) = \lim_{n \to +\infty} f(n+1)-f(n) = 0\)

PS: La cosa importante è ottenere \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) = \lim_{n \to +\infty} f'(c_n)\) e questo è vero se il limite di sinistra esiste e per avere l'esistenza si usa la convessità e la derivabilità. Il limite di destra invece esiste e fa \(0\) ed è sufficiente che la funzione abbia limite finito e sia derivabile.

[C_Paradise]

Certo poi uno può non sapere che \(\lim_{x \to +\infty} f'(x)\) esista, da quello che abbiamo visto può comunque dire che

\(\displaystyle\liminf_{x \to +\infty} f'(x) \le 0 \le \limsup_{x \to +\infty} f'(x)\)

Un analogo si ha con gli integrali, infatti se \(\int_a^{+\infty} f(x) \,dx\) è convergente vale

\(\displaystyle\liminf_{x \to +\infty} f(x) \le 0 \le \limsup_{x \to +\infty} f(x)\)

se volessimo la versione con il limite cosa dovremmo chiedere? Nella lezione 114 di AM1 di due anni fa c'è la dimostrazione che se

\(f\) è uniformemente continua e \(\int_a^{+\infty} f(x) \,dx\) è convergente allora

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\)