Integrale

[Valerio]

Dato l'integrale

\(\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{\log(1+t)}{t}\,dt\)

si chiede di determinare gli x reali per cui l'integrale converge. Ho cercato di determinare la primitiva ed ho ottenuto

\(\dfrac{1}{2}t^2 \log(1+t) - \dfrac{1}{4} t^2 + \dfrac{1}{2} t - \dfrac{1}{2} \log(1+t)\)

ma giunto a questo punto, semmai la strada imboccata fosse quella giusta, non riesco a concludere l'esercizio. Qualcuno può darmi gentilmente un suggerimento per risolvere l'esercizio?

[GIMUSI]

mi pare che i problemi ci siano solo per x=-1

bisogna indagare cosa succede là

[Valerio]

mi pare che i problemi ci siano solo per x=-1

bisogna indagare cosa succede là

Perfetto grazie ho risolto l'esercizio grazie al suggerimento . Un ultima cosa di tipo teorico. Quando studio l'integrale con l'estremo x=-1 essendo quest'ultimo minore dell'altro estremo che è "fisso" ed uguale ad 1 devo mettere un segno meno davanti all'integrale e quindi invertire i segni ai membri della primitiva? Anche sbagliando tutti i segni si riesce a capire che per x= -1 l'integrale converge ma se lo si volesse calcolare invertendo i segni si otterrebbe un risultato errato.

[GIMUSI]

...Ho cercato di determinare la primitiva ed ho ottenuto

\(\dfrac{1}{2}t^2 \log(1+t) - \dfrac{1}{4} t^2 + \dfrac{1}{2} t - \dfrac{1}{2} \log(1+t)\)

..

sei sicuro che la primitiva sia questa?

[Valerio]

E' vero ho sbagliato a calcolare la primitiva e mi pare che tentare di calcolarla sia anche difficile. Di sicuro esiste un metodo per evitarla magari riportando il problema in 0 e tentando di usare taylor per capire se l'integrale con problema in x=-1 converge.

[GIMUSI]

E' vero ho sbagliato a calcolare la primitiva e mi pare che tentare di calcolarla sia anche difficile. Di sicuro esiste un metodo per evitarla magari riportando il problema in 0 e tentando di usare taylor per capire se l'integrale con problema in x=-1 converge.

allego un possibile svolgimento con cambio di variabile che riconduce ad un integrale che pare più trattabile...che ne dici?...può darsi ci sia una via più diretta eh

[Valerio]

E' vero ho sbagliato a calcolare la primitiva e mi pare che tentare di calcolarla sia anche difficile. Di sicuro esiste un metodo per evitarla magari riportando il problema in 0 e tentando di usare taylor per capire se l'integrale con problema in x=-1 converge.

allego un possibile svolgimento con cambio di variabile che riconduce ad un integrale che pare più trattabile...che ne dici?...può darsi ci sia una via più diretta eh

Mi sembra proprio la via giusta di risolvere l'esercizio. Grazie mille che su questo mi ci ero un po' bloccato