\(\displaystyle u'=\frac{u^4}{1+u^2+t^2}, \quad u(0)=\alpha\)
la prima domanda chiede se esistono valori di \(\alpha > 0\) tali che si abbia esistenza globale, e questo si vede abbastanza facilmente in quanto
\(\displaystyle \frac{u^4}{1+u^2+t^2} \le \frac{u^4}{1+t^2}\) e questa si risolve esplicitamente, e per valori di \(\displaystyle \alpha \in \bigg(0,\frac{2}{3\pi}\bigg)\) la soluzione ha esistenza globale
e limite finito per \(t \to +\infty\).
La seconda domanda, ed è quella che mi sta dando un po' di noie, chiede se esistono valori di \(\alpha > 0\) per cui la soluzione è globale e verifica
\(\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u(t) = 2016\)
la terza chiede le stesse cose della seconda ma con limite uguale a \(+\infty\).
Ho provato a ragionare nel modo seguente, ma ho qualche dubbio. Per prima cosa un po' di notazione, pongo
\(A=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha esistenza globale e limite finito}\}\)
\(B=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha blow up}\}\)
\(C=\{\alpha \ge 0 : \text{la soluzione ha esistenza globale e limite infinito}\}\)
Inoltre \(A \cup B \cup C = [0,+\infty)\)
Chiaramente \(A\) è un intervallo, infatti se \(\alpha \in A\) e \(0 < \beta < \alpha\) anche \(\beta \in A\). Sia quindi \(\alpha_0 = \sup A \in \mathbb{R}\) perché ci sono dati iniziali per i quali si ha blow up.
Suppongo sperando che sia vero, ma non l'ho verificato che se \(C \neq \emptyset\) allora per forza \(C=\{\alpha_0\}\). Mostro quindi che \(C\) è non vuoto.
Considero la funzione \(\displaystyle \Phi \colon A \to [0,+\infty)\) definita come \(\displaystyle \Phi(\alpha)=\lim_{t \to +\infty} u(\alpha,t)\) e osservo che è monotona, calcolo quindi
\(\displaystyle \lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi(\alpha) = \sup_{\alpha \in A} \Phi(\alpha)\) e dico che ci sono due casi
i) se \(\sup \Phi = +\infty\) osservo che \(\lim_{t \to +\infty} u(\alpha_0,t)=\lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi(\alpha) = +\infty\) e quindi \(\alpha_0 \in C\).
ii) se per assurdo \(\sup \Phi = M \in \mathbb{R}\) noto che preso \(n \ge 4\) e definita \(v_n(t) := t^{1/n}\) essa è soprasoluzione \(\forall t \ge t_n\) opportuno. Considero quindi il problema
\(\displaystyle u'=\frac{u^4}{1+u^2+t^2}, \quad u(T)=M\) dove \(T \ge \max\{t_n, M^n\}\)
Allora \(v_n(T)=T^{1/n} \ge M\) dunque \(v_n(t) \ge u(t), \ \forall t \ge T\) ovvero \(u(t)\) ha esistenza globale nel futuro.
Se poniamo \(\alpha_1=u(0)\) allora è evidente che \(\alpha_1 > \alpha_0\) da cui \(\alpha_1 \in C\) e quindi \(\alpha_1=\alpha_0\) assurdo.
A questo punto ho finito perché la funzione \(\Phi\) è continua e \(\Phi(0)=0\) e ancora \(\lim_{\alpha \to \alpha_0} \Phi(\alpha) = +\infty\) quindi per il teorema dei valori intermedi esiste \(\bar{\alpha}\) tale che
\(\displaystyle \lim_{t \to +\infty} u(\bar{\alpha},t) = \Phi(\bar{\alpha}) = 2016\)
Quello che mi chiedo è se è una dimostrazione corretta, se ce n'era una più facile che mi è sfuggita, se c'è qualche passaggio che si può evitare..
Grazie a chiunque dirà la sua!
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In effetti ero quasi convinto che più di qualcuno avrebbe obiettato la continuità.