Tutte le funzioni sono suriettive (?)

[Jk_r]

Ciao, ho un dubbio che mi frulla per la testa da un po', ovvero: tutte le funzioni sono suriettive?

Mi spiego meglio. Siano dati due insiemi A e B non vuoti. Sia f: A->B (non conosco il math language, anzi se potete consigliarmi qualche link dove poterlo imparare) una funzione. Cioè:

(i) f è contenuto in AxB;
(ii) per ogni a in A esiste un solo b in B tale che (a, b) appartiene ad AxB.

Quindi la funzione non è altro che un insieme (un insieme di coppie (a,b) appartenenti ad AxB). Chiamiamo questo insieme F1.

Ora consideriamo f: A->C. Con C contenuto in B, ed inoltre C=B-{i valori di B che non hanno una controimmagine} cioè C=f(A) è l'immagine di A. Chiamiamo questo insieme (questa funzione) F2.

Ora F1=F2 ovviamente, cioè sono la stessa funzione, sia che la considero come f:A->B sia che la considero come f:A->C con C=f(A). Visto che F2 è suriettiva, anche F1 è suriettiva. Quindi f è suriettiva (?)

Non è una dimostrazione è solo un "ragionamento" che non riesco bene a comprendere se sia sensato o meno.

Vorrei dei chiarimenti a riguardo.

P.S. Anche perché esiste un teorema che si chiama Teorema di invertibilità per le funzioni strettamente monotòne che ho trovato nel testo Analisi Matematica 1 (Bramanti, Pagani, Salsa) che dice che se una funzione è strettamente monotòna allora è invertibile. Ma la stretta monotonìa implica solo l'iniettività e non la suriettività, quindi come fa ad essere invertibile se in generale non è biettiva? Qualcuno che possa farmi il quadro della situazione e schiarirmi le idee...

[GIMUSI]

per il latex puoi dare un'occhiata qui (ma puoi trovare tanto altro in rete)

https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics

per la domanda ti consigliere di dare un'occhiata alle prime lezioni di AM1-2014 nelle quali mi pare che sia spiegato tutto molto chiaramente

[Jk_r]

L'ho visto e rivisto il video. E non mi chiarisce il dubbio. Il professore dice, definendo la suriettività: "non possiamo dire che l'insieme di arrivo è l'immagine di A perchè non abbiamo ancora definito cosa sia l'immagine".

Quindi ho sbagliato a mettere in mezzo l'immagine di della funzione f(A).

In ogni caso avrei potuto definire l'insieme C anche diversamente:

Sia C = {tutti i b in B tali che (a, b) appartiene a F1} contenuto in B. Nota che F1 l'ho già definita come f:A->B e solo DOPO definisco C.
Ora se considero f:A->C e la chiamo F2, ho che chiaramente F1=F2. Essendo F2 suriettiva per come ho definito C allora anche F1 è iniettiva.

Quello che voglio intendere è che la funzione è un sottoinsieme di AxB, quindi gli elementi di B che non vengono "toccati" dalla funzione non appaiono proprio in essa, quindi quel B può essere tranquillamente sostituito da un altro sottoinsieme C di B in modo che la funzione sia suriettiva.

Come se per ogni funzione f:A->B posso sostituire quel B con un codominio "minimale" (cioè che contiene solo i b in B toccati dalla funzione) C contenuto (o uguale) in B e ottenere una nuova funzione uguale alla precedente. Essendo la nuova funzione suriettiva, anche la precedente è suriettiva.

Non so se ho reso l'idea.

Prendiamo, ad esempio, la funzione seno.

sin : R -> R non è suriettiva (e non capisco il perchè, questo è il motivo del post)
sin : R -> [-1, 1] è suriettiva

Ma sono la stessa funzione (intesa come lo stesso sottoinsieme di RxR). Tutti i valori al di fuori di [-1, 1] non vengono toccati dalla funzione, quindi per ogni x in R non può esistere una coppia (x, 2) nella funzione seno (intesa come insieme perché tale è).

Non erano la stessa funzione, invece, se consideravo:

sin : R -> R
sin : (2, 3) -> R

Ho reso l'idea?

Spero che riuscite a chiarirmi questo dubbio.

[Massimo Gobbino]

Prendiamo, ad esempio, la funzione seno.

sin : R -> R non è suriettiva (e non capisco il perchè, questo è il motivo del post)
sin : R -> [-1, 1] è suriettiva

Ma sono la stessa funzione (intesa come lo stesso sottoinsieme di RxR).

Burocraticamente *non* sono la stessa funzione. La prima è un sottoinsieme di RxR, la seconda è un sottoinsieme di Rx[-1,1], quindi ufficialmente nemmeno si conoscono.

[Jk_r]

Prendiamo, ad esempio, la funzione seno.

sin : R -> R non è suriettiva (e non capisco il perchè, questo è il motivo del post)
sin : R -> [-1, 1] è suriettiva

Ma sono la stessa funzione (intesa come lo stesso sottoinsieme di RxR).

Burocraticamente *non* sono la stessa funzione. La prima è un sottoinsieme di RxR, la seconda è un sottoinsieme di Rx[-1,1], quindi ufficialmente nemmeno si conoscono.

Mi scusi, ho notato il *non* con gli asterischi ma...

Rx[-1,1] è contenuto in RxR (visto che [-1, 1] è contenuto in R, cioè l'insieme C del mio esempio è contenuto in B), burocraticamente parlando. Quindi la seconda funzione essendo sottoinsieme di Rx[-1, 1] è anche sottoinsieme di RxR, burocraticamente parlando.

Quindi se chiamo F1 la prima funzione (il primo insieme) e chiamo F2 la seconda funzione (il secondo insieme), sono entrambi sottoinsiemi di RxR, dunque nulla vieta alle due funzioni di essere uguali (intese sempre come insiemi). E facendo qualche "modifica" all'insieme di arrivo, cioè "riducendolo al minimo indispensabile" (codominio "minimale") si può dimostrare che F1=F2.

Faccio un altro esempio, facendo il ragionamento al contrario:

F = {(0, 1), (1,2), (2, 3), (3, 3)} questa è una funzione (per definizione di funzione).

Ora la posso considerare come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3} o come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3,4} (ho aggiunto il numero 4) ma è sempre lo stesso insieme. Ed essendo la funzione, considerata come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3}, suriettiva allora lo è anche l'altra, visto che sono uguali (sono lo stesso insieme F).

Cioè cosa mi differenzia sin:R->R da sin:R->[-1,1] visto che rappresentano lo stesso insieme?

[GIMUSI]

[...Faccio un altro esempio, facendo il ragionamento al contrario:

F = {(0, 1), (1,2), (2, 3), (3, 3)} questa è una funzione (per definizione di funzione).

Ora la posso considerare come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3} o come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3,4} (ho aggiunto il numero 4) ma è sempre lo stesso insieme. Ed essendo la funzione, considerata come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3}, suriettiva allora lo è anche l'altra, visto che sono uguali (sono lo stesso insieme F).

Cioè cosa mi differenzia sin:R->R da sin:R->[-1,1] visto che rappresentano lo stesso insieme?

mi pare che si sia detto che una funzione sono 3 cose: la legge, l'insieme di partenza e l'insieme di arrivo...in questo senso le due F non sono la stessa funzione...una è suriettiva e l'altra no...è questo il tuo dubbio?

[Massimo Gobbino]

È come dice GIMUSI.

Affinché due funzioni siano "uguali" devono essere uguali A, B ed il sottoinsieme di AxB che definisce la funzione. Le operazioni di "estendere l'insieme di arrivo aggiungendo roba inutile" oppure "restringere l'insieme di arrivo riducendolo al minimo necessario" non sono consentite o per lo meno portano a funzioni che, burocraticamente parlando, sono distinte.

Quindi la funzione sin: R -> R e la funzione mysin: R -> [-1,1] sono diverse come funzioni, ed i loro grafici sono diversi in quanto sottoinsiemi di insiemi diversi. Sempre rimanendo in ambito burocratico, ha senso fare la composizione mysin(sin), ma non ha senso la composizione sin(mysin).

Poi ovviamente uno potrebbe fare una teoria in cui tutte le funzioni hanno come insieme di arrivo il "minimo indispensabile", dunque sono surgettive per definizione, ma allora diventerebbe più seccante definire le composizioni, oltre al fatto che spesso il "minimo indispensabile" non è chiaro chi sia (basta pensare a funzioni del tipo \(x^2+\cos x\)).

[Jk_r]

[...Faccio un altro esempio, facendo il ragionamento al contrario:

F = {(0, 1), (1,2), (2, 3), (3, 3)} questa è una funzione (per definizione di funzione).

Ora la posso considerare come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3} o come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3,4} (ho aggiunto il numero 4) ma è sempre lo stesso insieme. Ed essendo la funzione, considerata come F: {0, 1, 2, 3} -> {1,2,3}, suriettiva allora lo è anche l'altra, visto che sono uguali (sono lo stesso insieme F).

Cioè cosa mi differenzia sin:R->R da sin:R->[-1,1] visto che rappresentano lo stesso insieme?

mi pare che si sia detto che una funzione sono 3 cose: la legge, l'insieme di partenza e l'insieme di arrivo...in questo senso le due F non sono la stessa funzione...una è suriettiva e l'altra no...è questo il tuo dubbio?

Si è detto "operativamente una funzione è 3 cose" ma non burocraticamente. Wikipedia (così come anche il professore Gobbino) dice che una funzione è una relazione tra due insieme, quindi è un sottoinsieme, quindi è un insieme. Non è 3 cose, è solo un insieme burocraticamente parlando. Concettualmente capisco che una funzione è: insieme di partenza, insieme di arrivo e la legge che li "lega". La mia domanda riguardava il punto di vista "rigoroso" non "brutale-intuitivo".

La ringrazio per la risposta.

È come dice GIMUSI.

Affinché due funzioni siano "uguali" devono essere uguali A, B ed il sottoinsieme di AxB che definisce la funzione. Le operazioni di "estendere l'insieme di arrivo aggiungendo roba inutile" oppure "restringere l'insieme di arrivo riducendolo al minimo necessario" non sono consentite o per lo meno portano a funzioni che, burocraticamente parlando, sono distinte.

Quindi la funzione sin: R -> R e la funzione mysin: R -> [-1,1] sono diverse come funzioni, ed i loro grafici sono diversi in quanto sottoinsiemi di insiemi diversi. Sempre rimanendo in ambito burocratico, ha senso fare la composizione mysin(sin), ma non ha senso la composizione sin(mysin).

Poi ovviamente uno potrebbe fare una teoria in cui tutte le funzioni hanno come insieme di arrivo il "minimo indispensabile", dunque sono surgettive per definizione, ma allora diventerebbe più seccante definire le composizioni, oltre al fatto che spesso il "minimo indispensabile" non è chiaro chi sia (basta pensare a funzioni del tipo \(x^2+\cos x\)).

La ringrazio per la risposta.

P.S. A questo punto credo non sia possibile dimostrare che sin = mysin, giusto?

[Massimo Gobbino]

P.S. A questo punto credo non sia possibile dimostrare che sin = mysin, giusto?

Certamente è impossibile, visto che sono diverse, rigorosamente parlando. Uguali vuol dire davvero uguali, non identificabili a meno di vedere [-1,1] come sottoinsieme di R.

Poi potremmo discutere a lungo se una funzione sono una cosa o tre cose: una funzione è un sottoinsieme di AxB con una certa proprietà (quindi in un certo senso è una cosa sola), ma per dare un sottoinsieme di AxB bisogna dare A, B e il sottoinsieme ...

[Jk_r]

P.S. A questo punto credo non sia possibile dimostrare che sin = mysin, giusto?

Certamente è impossibile, visto che sono diverse, rigorosamente parlando. Uguali vuol dire davvero uguali, non identificabili a meno di vedere [-1,1] come sottoinsieme di R.

Poi potremmo discutere a lungo se una funzione sono una cosa o tre cose: una funzione è un sottoinsieme di AxB con una certa proprietà (quindi in un certo senso è una cosa sola), ma per dare un sottoinsieme di AxB bisogna dare A, B e il sottoinsieme ...

La ringrazio, sto capendo ad un livello più "intuitivo" perché non sono la stessa cosa grazie alla keyword "identificabili".