Tentativo giusto per eq. differenziale
Tentativo giusto per eq. differenziale
\(u''-2u'+2u=e^t \sin t\)
La soluzione generale dell'equazione omogenea associata è \(u(t)=a e^t \cos t + b e^t \sin t\)
Se volessi fare un tentativo col metodo dell'indovino, quale sarebbe il tentativo giusto da fare? Sarebbe forse \(a t e^t (b t \sin t + c t \cos t)\)?
La soluzione generale dell'equazione omogenea associata è \(u(t)=a e^t \cos t + b e^t \sin t\)
Se volessi fare un tentativo col metodo dell'indovino, quale sarebbe il tentativo giusto da fare? Sarebbe forse \(a t e^t (b t \sin t + c t \cos t)\)?
- Massimo Gobbino
- Amministratore del Sito
- Posts: 2535
- Joined: Monday 29 November 2004, 19:00
- Location: Pisa
- Contact:
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
Beh, per sapere se un tentativo è giusto .. basta provare!
Mi sembra però che ci sia un po' troppa roba ... ad esempio quella costante fuori che senso ha? Finirebbe solo per moltiplicare quelle dentro!
Mi sembra però che ci sia un po' troppa roba ... ad esempio quella costante fuori che senso ha? Finirebbe solo per moltiplicare quelle dentro!
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
Se il termine noto di un'eq. diff è \(e^t\) il tentativo da fare con il metodo dell'indovino sarebbe u(t)=\(a*e^t\) con a incognita. Se invece il termine noto è sint o cost allora si prova con u(t)= a*sint + b*cost. Forse avrei dovuto usare un altro nome per i coefficienti del tentativo in quanto a e b erano già stati chiamati quelli della soluzione generale dell'omogenea associata.
Nell' equazione ho al termine noto \(e^t\)*sint e ho quindi moltiplicato tra di loro i due tentativi dei singoli casi.
Nell' equazione ho al termine noto \(e^t\)*sint e ho quindi moltiplicato tra di loro i due tentativi dei singoli casi.
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
in alternativa ai metodi spiegati in AM1-15 lez.77-78, allego uno svolgimento per determinare la (una) soluzione particolare risolvendo l'equazione sui complessi
- Attachments
-
- 160609 - eq_differenziale.pdf
- (58.98 KiB) Downloaded 302 times
GIMUSI
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
Grazie molto interessante questo metodo di svolgimento.
- Federico.M
- Presenza fissa
- Posts: 138
- Joined: Saturday 28 May 2016, 6:57
- Location: Montecatini Terme
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
Ho provato anche io a risolvere l'equazione differenziale applicando i metodi descritti negli appunti del professore. Dopo calcoli bovini sono arrivato alla stessa soluzione trovata da Gimusi sui complessi.
- Attachments
-
- Equazione differenziale 2.pdf
- (187.69 KiB) Downloaded 306 times
Federico
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
Grazie per aver condiviso anche quest'altro metodo !Federico.M wrote:Ho provato anche io a risolvere l'equazione differenziale applicando i metodi descritti negli appunti del professore. Dopo calcoli bovini sono arrivato alla stessa soluzione trovata da Gimusi sui complessi.
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
Per la solita equazione differenziale oltre al tentavivo giusto dell'indovino e lo svolgimento sui numeri complessi ho provato anche come esercizio quello della variazione delle costanti. Ho cercato UNA soluzione speciale della non omogenea del tipo \(u(t)= a(t)\cdot e^t \sin t+b(t)\cdot e^t \cos t\) con a(t) e b(t) incognite. Facendo i vari calcoli ho trovato che la soluzione speciale della non omogenea è
\(u(t)=(e^t\cdot \sin t)/2-(t/2)\cdot e^t\cdot \cos t\)
Tuttavia il termine \((e^t\cdot \sin t)/2\) è di troppo. Ho sbagliato qualche conto strada facendo oppure è proprio l'aver imposto in partenza una soluzione del tipo \(u(t)= a(t)\cdot e^t \sin t+b(t)\cdot e^t \cos t\) con a(t) e b(t) incognite che è sbagliato ?
\(u(t)=(e^t\cdot \sin t)/2-(t/2)\cdot e^t\cdot \cos t\)
Tuttavia il termine \((e^t\cdot \sin t)/2\) è di troppo. Ho sbagliato qualche conto strada facendo oppure è proprio l'aver imposto in partenza una soluzione del tipo \(u(t)= a(t)\cdot e^t \sin t+b(t)\cdot e^t \cos t\) con a(t) e b(t) incognite che è sbagliato ?
- Federico.M
- Presenza fissa
- Posts: 138
- Joined: Saturday 28 May 2016, 6:57
- Location: Montecatini Terme
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
Ho risolto anche io il problema con il metodo delle variazioni delle costanti e sono giunto anche io al tuo stesso risultato. Tuttavia non credo che abbiamo commesso degli errori, perché il termine in questione, che tu dici essere di troppo, sparisce nel momento in cui vai a sommare la soluzione generale dell'equazione omogenea associata con la soluzione particolare ottenuta.
In altre parole, una costante + 1/2 è ancora una costante.
In altre parole, una costante + 1/2 è ancora una costante.
Federico
Re: Tentativo giusto per eq. differenziale
Grazie 1000 per l'aiuto e la pazienza!