Serie 4, 2° colonna, esercizio n° 7

[Valerio]

Buonasera a tutti. Questa serie tratta da "Esercizi di Analisi Matematica 1 (Parte A)" dovrebbe convergere. Tuttavia dopo aver applicato il criterio dell'assoluta convergenza ed in seguito il criterio del confronto asintotico con 1/n mi risulta che la serie è divergente. Cosa sto sbagliando? Grazie in anticipo per la cortese attenzione.

\((-1)^n \arctan\left(\dfrac{n+\sin(n!)}{n^2 + \sin((n!)^2)}\right)\)

[Massimo Gobbino]

Ma se non ci fossero quei seni seccanti, che faresti?

[Valerio]

Ma se non ci fossero quei seni seccanti, che faresti?

Se non ci fossero quei seni sarebbe comodo applicare il criterio di Leibnitz. Le ipotesi 1 e 3 sul limite che tende a zero e sulla positività sarebbero scontate. Il punto 2 sarebbe semplice pure quello in quanto essendo arcotangente strettamente crescente si semplificherebbe la funzione nella disequazione e rimarrebbero unicamente gli argomenti.

[GIMUSI]

il metodo per serie di questo tipo che hanno tanta voglia di convergere ma fanno i capricci è spiegato nella lezione 37 di AM1 2015...in pratica si tratta di sottrarre e sommare una serie di termini che convergono

allego qui una traccia di svolgimento fammi sapere se ti è chiara...e soprattutto se giusta

[Valerio]

il metodo per serie di questo tipo che hanno tanta voglia di convergere ma fanno i capricci è spiegato nella lezione 37 di AM1 2015...in pratica si tratta di sottrarre e sommare una serie di termini che convergono

allego qui una traccia di svolgimento fammi sapere se ti è chiara...e soprattutto se giusta

Ma perchè la serie (-1)^n 1/n converge? Non dovrebbe divergere essendo un'armonica generalizzata del tipo divergente dopo aver applicato il criterio dell'assoluta convergenza?

[GIMUSI]

...Ma perchè la serie (-1)^n 1/n converge? Non dovrebbe divergere essendo un'armonica generalizzata del tipo divergente dopo aver applicato il criterio dell'assoluta convergenza?

non converge assolutamente ma converge per Leibnitz...è il caso più classico (vd. lez. 36 AM1 2015)...se hai dubbi su queste ti consiglio di fare prima un po' di serie più di base eh

[Valerio]

...Ma perchè la serie (-1)^n 1/n converge? Non dovrebbe divergere essendo un'armonica generalizzata del tipo divergente dopo aver applicato il criterio dell'assoluta convergenza?

non converge assolutamente ma converge per Leibnitz...è il caso più classico (vd. lez. 36 AM1 2015)...se hai dubbi su queste ti consiglio di fare prima un po' di serie più di base eh

Forse hai ragione, effettivamente queste serie sono piuttosto articolate. Un' ultima cosa, come si riconoscono le serie che " vogliono convergere ma fanno i capiricci"? ovvero quelle in cui si deve sottrarre ed aggiungere quella certa quantità chiamata ω(x)?

[GIMUSI]

...
Forse hai ragione, effettivamente queste serie sono piuttosto articolate. Un' ultima cosa, come si riconoscono le serie che " vogliono convergere ma fanno i capiricci"? ovvero quelle in cui si deve sottrarre ed aggiungere quella certa quantità chiamata ω(x)?

al solito vecchio modo: chiarendosi bene la teoria e facendo tanti esercizi...partendo da quelli più semplici e via via alzando l'asticella...insomma guardare tutte le lezioni con attenzione, farsi delle sintesi e fare tutte le schede di esercizi in ordine credo sia il modo più banale forse ma anche il più efficiente...

in questi casi particolari le riconosci perché in brutal mode hai la netta sensazione di come possano comportarsi però l'assoluta convergenza fallisce perché ti serve che sia a termini alterni e il buon leibnitz non lo puoi applicare perché non hai la debole decrescenza

[Valerio]

...
Forse hai ragione, effettivamente queste serie sono piuttosto articolate. Un' ultima cosa, come si riconoscono le serie che " vogliono convergere ma fanno i capiricci"? ovvero quelle in cui si deve sottrarre ed aggiungere quella certa quantità chiamata ω(x)?

al solito vecchio modo: chiarendosi bene la teoria e facendo tanti esercizi...partendo da quelli più semplici e via via alzando l'asticella...insomma guardare tutte le lezioni con attenzione, farsi delle sintesi e fare tutte le schede di esercizi in ordine credo sia il modo più banale forse ma anche il più efficiente...

in questi casi particolari le riconosci perché in brutal mode hai la netta sensazione di come possano comportarsi però l'assoluta convergenza fallisce perché ti serve che sia a termini alterni e il buon leibnitz non lo puoi applicare perché non hai la debole decrescenza

Ho capito, grazie per i preziosi consigli e per la gentile disponibilità

[Valerio]

Sono andato a rivedere la teoria. Effettivamente per quanto riguarda il fatto che una serie può convergere oppure convergere assolutamente mi ero veramente perso in un bicchier d'acqua. Tuttavia non mi pare di aver trovato questo particolare metodo risolutivo per questo genere di serie nelle lezioni di ingegneria. E' forse una tipologia di esercizio di difficoltà superiore che si rivolge per lo più agli studenti del dipartimento di matematica?

[GIMUSI]

in effetti le lezioni che ho citato 36 e 37 sono del corso AM1 2014-2015 che è destinato ai matematici...ma anche nella lezione 41 del corso AM1 2012-2013 puoi trovare un caso più semplice ma del tutto analogo e molto probabilmente in tutti i precedenti

in ogni caso anche la prima parte del corso 2014-2015 non si discosta enormemente dal corso per ingegneria, mi pare, e facendo gli esercizi dati dal Prof per gradi puoi benissimo arrivare a riconoscere e svolgere tranquillamente anche problemi di questo tipo...e poi se occorre c'è questo bellissimo forum per discuterli e commentarli

[Valerio]

Ho provato a risolvere un'altra serie usando la stessa tecnica della precedente giusto per prendere la mano con questo particolare metodo. Il risultato è quello allegato in foto. È corretto ?

[GIMUSI]

non ho verificato il tuo procedimento ma mi pare che in questo caso si possa fare in modo molto più semplice...se dividi la serie come somma di due termini...il primo converge per Leibnitz mentre il secondo è una finta serie a termini alterni in quanto il cos(pi*n) si comporta come (-1)^n...questa seconda parte dunque è a termini positivi e risulta divergente

[Valerio]

il metodo per serie di questo tipo che hanno tanta voglia di convergere ma fanno i capricci è spiegato nella lezione 37 di AM1 2015...in pratica si tratta di sottrarre e sommare una serie di termini che convergono

allego qui una traccia di svolgimento fammi sapere se ti è chiara...e soprattutto se giusta

L'unico passaggio su cui adesso ho qualche dubbio è questo : ∑(-1)n (arctan(ω(n)) - ω(n)) assoluta conv. per c.a con ω(n)3 ( è un 3 l'esponente giusto? e perchè proprio quell'esponente?)

Svolgendo a mano questo passaggio al punto del confronto asintotico viene:
an/bn = [arctan(ω(n)) - ω(n)]/[ω(n)3] che tuttavia non riesco a trovare un metodo efficiente per risolverla.

[GIMUSI]

...Svolgendo a mano questo passaggio al punto del confronto asintotico viene:
an/bn = [arctan(ω(n)) - ω(n)]/[ω(n)3] che tuttavia non riesco a trovare un metodo efficiente per risolverla.

è un classico limite da fare con taylor...tenendo conto del valore assoluto dà 1/3...per fare le serie questi argomenti dovresti già averli abbastanza chiari altrimenti tutto sembra più complesso