Inf di una funzione su R^2 (es. 3 prova d'esame 5/07/05)

[Mondo]

Sia f(x,y)= x^4+y^4+xy .

Come faccio a dimostrare che qui l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto R^2 è anche minimo?
(il minimo poi lo calcolo facilmente annullando il gradiente e risulta -1/8)
Sono arrivato a questa conclusione dopo aver osservato che anche con il metodo del completamento dei quadrati non si arriva a nulla, o meglio non si riesce a far andare f(x,y) sotto -1/8...

[Massimo Gobbino]

Sia f(x,y)= x^4+y^4+xy .

Come faccio a dimostrare che qui l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto R^2 è anche minimo?

Bisogna far vedere che f(x,y) è positiva quando il punto (x,y) sta al di fuori di un cerchio di raggio sufficientemente grande.

A quel punto la "battaglia per l'inf" si gioca all'interno del cerchio, e lì vale Weiestrass.