Darboux implica Riemann in più variabili

[a.clini]

Buongiorno professore,
stavo provando a 'mettere i puntini sulle i' alla teoria degli integrali in più variabili: riesco a dimostrare 'riemann implica darboux', mentre non mi riesce la freccia opposta..
Ho provato ad adattare la dimostrazione vista l'anno scorso al corso di Analisi 1 per matematica (lezione 128 per intenderci), dividendo gli 'iper-rettangoli' di una generica partizione taggata tra rettangoli interni (INT) e rettangoli che intersecano ma non sono contenuti (CAV) nei rettangoli una partizione P 'buona' di Darboux(che esiste per ipotesi di integrabilità alla Drboux), ma non riesco a controllare il numero degli iperrettangoli CAV in funzione del numero degli iperrettangoli della partizione P di Darboux.

In particolare, se siamo in R^n e la partizione P di Darboux è fatta da k rettangoli, se non vado errando, ci sono al più k*(2^n) rettangoli che intersecano un rettangolo di P e che non sono contenuti rispetto a nessuna dimensione in detto rettangolo (ovvero nessun iper-lato del rettangolo di riemann è contenuto nel corrispondente iper-lato del rettangolo di darboux)... ma come controllare quelli che almeno in una dimensione sono contenuti, riesco a trovarne infiniti in questo caso!

Spero di essermi spiegato, la ringrazio in anticipo e grazie anche a chiunque vorrà rispondemri.

Andrea

[Massimo Gobbino]

Eheheh, chissà come mai mi sono tenuto lontano da quell'argomento a lezione

La ragione è che fare una dimostrazione formale è una pena , già in dimensione 2. Il punto fondamentale, come hai giustamente osservato, è che non è possibile contare il numero di rettangoli "a cavallo". In dimensione 1 se ne stimava il numero sulla base del numero di punti di confine nella partizione di Darboux; ora invece in dimensione 2 bisogna stimate la *somma delle aree* sulla base della lunghezza dei contorni dei rettangoli che fanno parte della Darboux. In pratica in dimensione 1 si stimava sulla base della dimensione 0 (che equivale a contare i punti), mentre in dimensione 2 si deve stimare sulla base della dimensione 1, e così via in dimensione più alta.

Un possibile approccio alternativo, che mi piacerebbe indagare, è di provare a dimostrare delle formule di sezionamento (stile Fubini-Tonelli) per l'integrale alla Riemann. A quel punto il risultato seguirebbe per induzione .

[a.clini]

Ho capito professore, allora proverò a ragionare e a formalizzare quanto mi ha suggerito. La ringrazio ancora.

[Massimo Gobbino]

Il lemma chiave è qualcosa di questo tipo.

Data una partizione P, esiste una costante K (dipendente solo da P) con questa proprietà: per ogni altra partizione P' di diametro d, la somma delle aree (o equivalente n-dim) dei rettangoli di P' che toccano il bordo di almeno un rettangolo di P è minore di Kd.

In dimensione 1 il lemma è vero e la costante K è proporzionale al numero di pezzi da cui è fatta P.

Dando per buono questo lemma dovrebbe essere possibile concludere abbastanza facilmente. Giusto?

[a.clini]

Ah si certo, con quel lemma si chiude... sperando di non averle sparate grosse, ho allegato come concluderei io (che poi è come ha concluso lei l'anno scorso...).
Riguardo al lemma, pensandoci un po' mi sembra che in dimensione 2 [la costante] K sia la somma dei perimetri dei rettangoli di Darboux, in dimensione 3 sia la somma delle superfici e così via.. suppongo si debba sudare parecchio a dimostrarlo per bene, intuitivamente però mi sembra corretto. Mi corregga se sbaglio.

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho aggiunto "la costante" per rendere la frase più leggibile (regola generale di buona scrittura matematica: mai due simboli a contatto).

[Massimo Gobbino]

Direi che va abbastanza bene. Volendo fare le pulci alla dimostrazione, segnalo due punti che mi sono venuti in mente (ma sarebbe bello che intervenissero anche quelli che stanno studiando analisi 2, if any).

1 - L'idea di aggiungere la costante M per avere a che fare con una funzione maggiore o uguale a zero (cosa che io l'anno scorso non avevo considerato, sbagliando ) non è male, ma va precisata, in quanto stiamo facendo la teoria dell'integrale per funzioni limitate e nulle fuori da un rettangolo.

2 - Mi piacerebbe essere sicuro che ogni rettangolo della nuova P sia in CAV oppure INT.

[a.clini]

Beh, in realtà potrebbero essercene di rettangoli che non sono né INT né CAV, ma in quel caso sarebbero disgiunti dall'insieme A al di fuori del quale la funzione é nulla, per cui ovunque si tagga vale 0, e si possono trascurare. Effettivamente avrei potuto scriverlo...
Sulla costante M sono proprio scivolato, ma con M*1(A) dovrebbe tornare bene, siccome A é misurabile.