Teoria funzionali quadratici

[gemma]

Salve a tutti,
Ho un dubbio riguardante la teoria sui funzionali quadratici. In riferimento alle soluzioni proposte da Carmine degli esercizi 3 della simulazione del 25/12/'15 e del compito del 12/01/'16, avrei alcune domande:

1) Come mai nella simulazione per valutare per quali l il problmea di minimo ha soluzione viene calcolata la variazione seconda mentre nel compito del 12/01 questo passaggio non è necessario ma viene solamente effettuata una limitazione? Perchè non viene calcolata la variazione seconda anche in questo secondo caso (in cui è richiesto per quali l il minimo esiste ed è negativo)?

2) Nell'esercizio 3 del 12/01, se calcolo esplicitamente F(u) con u pari alla soluzione dell'equazione di Jacobi ottengo un risultato dipendente da l e non sempre positivo, ma nelle soluzioni afferma invece che inf(G(u))=min(G(u))=0. Dove sto sbagliando?

Grazie mille in anticipo a chi risponderà.

[Carmine]

Siccome il cattivo in questione sono io, rispondo io

Dunque, rispondo prima alla seconda domanda: non mi è affatto chiaro perchè calcoli [tex]F(u)[/tex] con [tex]u[/tex] soluzione dell'equazione di Jacobi associata a [tex]G[/tex], in quanto [tex]F[/tex] e [tex]G[/tex] sono funzionali distinti, e a priori valutare [tex]F[/tex] in punti di rilievo rispetto a [tex]G[/tex] non porta da nessuna parte. Non è che forse hai fatto confusione tra [tex]F[/tex] e [tex]G[/tex]? Comunque, rifacendomi a ciò che io ho scritto nelle soluzioni, [tex]G[/tex] soddisfa la condizione [tex]L^+[/tex], e per [tex]l<x_0[/tex] soddisfa anche la condizione [tex]J^+[/tex], da cui si ha che [tex]G(v) \ge 0[/tex] per ogni [tex]v[/tex] ammissibile, e dato che [tex]G(v_0)=0[/tex], dove [tex]v_0[/tex] è la funzione identicamente nulla, si ha [tex]\inf G = \min G = 0[/tex]. Il caso [tex]l=x_0[/tex] si discute per linearità (vedi tra le lezioni, il discorso è stato affrontato a lezione). Nella soluzione, comunque, ho scritto che [tex]\inf G=\min G=0[/tex] solo se [tex]l \le x_0[/tex], non sempre. Tornando a [tex]F[/tex], ho dimostrato che [tex]F \ge G[/tex], da cui, dato che [tex]F(u_0)=0[/tex], dove [tex]u_0[/tex] è la funzione nulla a tappeto, si ha [tex]\inf F=\min F=0[/tex].
Spero di aver chiarito le idee, ma non nascondo di non aver capito molto bene la tua domanda.

Veniamo ora alla prima domanda (ben più comprensibile ). Consideriamo un funzionale quadratico, ad esempio il seguente:

[tex]F(u)=\int_0^l \dot{u}^2-u^2 \ dx[/tex]

Chiaramente, se avessimo questo funzionale da studiare, non ci sogneremmo mai di calcolare la variazione seconda, però per stavolta facciamolo. Si ottiene lo stesso funzionale di partenza, a meno di un fattore [tex]2[/tex]. Infatti mi è capitato in altri corsi di veder introdurre un cosiddetto "funzionale ausiliario" che altro non era che la metà della variazione seconda, perchè quando si considera la variazione seconda spesso esce un fattore [tex]2[/tex] che non serve a nulla, ma che c'è. Tornando a noi, quindi, ho usato quell'approssimazione perchè l'arcotangente è una funzione che si approssima bene dall'alto, ma fondamentalmente ho approssimato il funzionale di partenza con il suo funzionale ausiliario, e prima di scrivere la soluzione sapevo già che, quasi al 100%, il funzionale di partenza e il suo funzionale ausiliario si comportavano alla stessa maniera: d'altronde, se uno non è abbastanza sicuro di quel che sta facendo, il conto finale nel caso [tex]l>x_0[/tex] non lo fa Cosa voglio dire con ciò? Se tu calcoli la variazione seconda del funzionale di partenza in [tex]u_0[/tex] identicamente nulla, ti esce esattamente il funzionale [tex]G[/tex], a meno di un fattore [tex]2[/tex], di cui però ti importa il giusto. E poi puoi trarre le solite conclusioni... con la soluzione che ho proposto io, invece, ho cercato di mostrare un altro metodo, leggermente differente da quello standard, ma che sotto sotto nascondeva il mtodo standard. Morale: non è che è sbagliato, in questo caso, calcolare la variazione seconda... è che in matematica, quasi sempre, non esiste una sola strada

[Massimo Gobbino]

è che in matematica, quasi sempre, non esiste una sola strada

Questa è l'unica certezza, ed è il motivo per cui molte volte è diseducativo limitarsi a vedere soluzioni scritte da altri. Molto più utile provare a scrivere le proprie soluzioni e farle vedere ad altri per avere commenti.

Nei casi specifici, è chiaro che uno può sempre calcolare la variazione seconda, il problema è cosa farsene dopo averla calcolata. Una variazione seconda può escludere che una certa funzione sia DLM, oppure può confermare che è WLM e sotto ulteriori ipotesi anche SLM. Per avere ulteriori informazioni, ad esempio esistenza o non esistenza di GM, servono quasi sempre ulteriori osservazioni, ad esempio stime. Inoltre, quando il problema coinvolge dei parametri, la variazione seconda può portare ad individuare dei valori dei parametri che fanno da spartiacque tra comportamenti diversi: per quei valori speciali dei parametri la variazione seconda non può nulla, e bisogna trovare strade alternative. Spesso negli esercizi 3 dei compiti è successo questo .

[gemma]

Grazie mille per l'aiuto
In riferimento alla seconda domanda, in effetti ho sbagliato a scrivere F(u), volevo infatti scrivere G(u). Tuttavia il mio dubbio rimane: pur sapendo dalla teoria, che essendo soddisfatte le condizioni J+ e L+, Il funzionale G(u) dovrebbe essere maggiore o uguale di zero, provando a calcolare il funzionale G nella soluzione dell'equazione di Jacobi ottengo che il risultato non è sempre maggiore o uguale di zero per ogni valore di l<=x_0.
Sicuramente sto facendo un errore io, ma non riesco proprio a capire dove sto sbagliando!

[Carmine]

Scrivi tutti i conti precisi, che troviamo l'errore...

[gemma]

in allegato sono presenti i miei conti (sicuramente sbagliati perché portano a risultati contrastanti con quanto afferma la teoria).
Spero di non aver detto grosse cavolate grazie mille per la disponibilità

[Carmine]

Dimentichi un dettaglio importante: la funzione dev'essere nulla al bordo e [tex]u_0[/tex], in quasi tutti i casi, non è nulla al bordo (non è nulla nel secondo estremo).

[gemma]

Grazie mille,sei stato davvero di grande aiuto!
mi ero dimenticata un dettagliato non da poco e c'ho perso anche un sacco di tempo