Polinomio di taylor

[francicko]

Volevo porre la seguente domanda:
Se f (x) e' una funzione analitica allora comunque preso un punto [tex]x_0[/tex], e' possibile costruire il polinomio di taylor in [tex]x_0[/tex], tale polinomio e' in grado di fornire un approssimazione della funzione f (x) lungo tutto il suo dominio
come il polinomio di taylor centrato in [tex]0[/tex]?
Spero che la domanda sia chiara e ringrazio in anticipo per le risposte!
Saluti!

[GIMUSI]

è vero per alcune funzioni ([tex]e^x[/tex], cosx, sinx, etc.) ma in generale la convergenza è garantita solo localmente (e.g. la serie di taylor in 0 di log(1+x) converge solo per |x|<1)

[Massimo Gobbino]

La domanda di francicko andrebbe posta meglio. Dire che una funzione è analitica è ambiguo, così come lo è dire che una funzione è uniformemente continua: bisogna sempre specificare *dove* questo accade.

Una versione incompleta è la seguente. Se una funzione f(x) è analitica in un certo aperto, allora in ogni punto dell'aperto posso costruire la serie di Taylor di f(x), usando come coefficienti le derivate successive calcolate in quel punto e divise per gli opportuni fattoriali; questa serie converge a f(x) in un certo intervallo centrato nel punto in considerazione, la cui ampiezza dipende dal punto stesso.

Ad esempio, la funzione f(x)=log(1+x) è analitica nella semiretta x<1. Preso un qualunque punto della semiretta, ad esempio a=-4, la serie di Taylor di centro a converge a log(1+x) nell'intervallo (-9,1), che è l'intervallo centrato in a e di (semi)ampiezza 5. In questo caso la semi-ampiezza è la massima possibile, perché andare oltre 5 porterebbe la zona di analiticità oltre 1.

Tuttavia, l'ampiezza non è sempre la massima possibile. La funzione arctan x è analitica su tutto R, ma la serie di Taylor centrata in 0 converge solo in (-1,1). Ancora più buffo è che la serie di Taylor con centro in 8 converge in un intervallo la cui semi-ampiezza è la radice di 65 . Ovviamente a tutto questo c'è una spiegazione, e comparirà da qualche parte nelle lezioni del secondo semestre di analisi 2, quando ci occuperemo, appunto di analiticità.

[francicko]

Molte grazie per le risposte!
In effetti essendo un profano in materia non ho molto chiaro la definizione di funzione analitica, da qualche parte sul web ho letto la seguente definizione:
una funzione si dice analitica se localmente ossia intorno ad ogni punto del suo insieme di definnizione e' somma di una serie di potenze;
Ora mi sono chiesto sempre da profano in materia, se una funzione e' sviluppabile in serie di Mc Laurin, quindi posso sostituire alla funzione una serie di potenze che approssimi per ogni [tex]x[/tex] il valore della funzione [tex]f (x)[/tex] man mano che considero un maggior numero di termini della serie, e se non ricordo male condizione necessaria e sufficiente perché questo succeda e' che risulti [tex]lim_{n->infty}Tn_(x) =0[/tex], da qui mi sono chiesto e se invece di considerare il punto [tex]0[/tex], vado a considerare un punto qualsiasi del dominio [tex]x_0[/tex], e costruisco la serie di Taylor in tale punto, man mano che considero sempre un maggior numero di termini questa serie andrà ad approssimare la funzione [tex]f (x)[/tex] in ogni punto [tex]x[/tex], oppure no, se la risposta e' affermativa, esiste un modo per dimostrarlo?
Ricapitolando una funzione sviluppabile in serie di Mc Laurin, o in un intorno I dell'origine e' una funzione analitica in I?
Non so se mi sono spiegato in modo chiaro.