Minimum problems 3

[Carmine]

Salve,

nell'esercizio 6 il secondo punto che chiede? Di dimostrare che un eventuale minimo è necessariamente crescente?

[Massimo Gobbino]

Di dimostrare che un eventuale minimo è necessariamente crescente?

Sostanzialmente sì. Detto meglio: di dimostrare che l'inf su tutte le funzioni è uguale all'inf su quelle (debolmente) crescenti. Perché questa osservazione è decisiva in quell'esercizio?

[Carmine]

Per poter fare la radice senza modulo nell'ultimo punto

Gli esercizi 4 5 e 6 di questa sezione erano davvero interessanti. Grazie

[Massimo Gobbino]

Per poter fare la radice senza modulo nell'ultimo punto

Uhm, non solo. Prima di arrivare a fare la radice occorre l'esistenza.

[Carmine]

Personalmente dall'Eulero differenziale più qualche mini osservazione ho dedotto che la funzione fosse non decrescente, dopodichè ho fatto la radice e ho esplicitato il minimo direzionale. Poi, per l'unicità, dato che un altro eventuale minimo globale doveva soddisfare l'equazione di Eulero e quindi essere non decrescente, ho dedotto l'unicità tramite una disuguaglianza... mi son perso qualcosa?

Edit: Eulero in forma Erdmann. E poi mi sono espresso male, non "un altro eventuale" ma "un eventuale".

[Massimo Gobbino]

Ma perché esiste il minimo?

[Carmine]

Ok, ho capito la falla del mio ragionamento Ci penso...

[Carmine]

Ok, ho apprezzato ora l'utilità del secondo punto (che si può fare troncando sopra 1 o sotto 0 e poi approssimando accuratamente, oppure "riempiendo le buche" e poi approssimando...).

L'utilità di quell'osservazione serve a limitare u dall'alto e dal basso, ergo a poter usare il metodo diretto. Ora va bene, la dimostrazione E in effetti, per dimostrare l'unicità, l'ipotesi di crescenza non serve.

EDIT: devo finire il passo di regolarità, non vorrei aver detto una sciocchezza.

EDIT[tex]^2[/tex]: la regolarità non serve nemmeno. Una volta che so che il minimo esiste, uso la disuguaglianza di Jensen e concludo. Dovrebbe funzionare, ora...

[Massimo Gobbino]

EDIT[tex]^2[/tex]: la regolarità non serve nemmeno. Una volta che so che il minimo esiste, uso la disuguaglianza di Jensen e concludo. Dovrebbe funzionare, ora...

Qui non ho capito più nulla .

[Carmine]

Diciamo che la mia vena probabilistica mi suggerisce che la varianza di una variabile aleatoria è sempre positiva, ed è nulla se e solo se essa è costante.

Detto ciò, restringendoci alle funzioni crescenti, si ha che il "valore atteso" è fissato, e quindi non stiamo facendo altro che minimizzare il momento secondo, che è minimo per le costanti, appunto. Da qui si ha l'equazione di Eulero in forma di Erdmann

[Carmine]

Detto altrimenti:

[tex]\displaystyle \int_0^1 \frac{\dot{v}^2}{(1+v^2)^2} \ dx \ge \left( \int_0^1 \frac{\dot{v}}{1+v^2} \ dx \right)^2[/tex]

e il RHS è fissato perchè abbiamo gli estremi fissati. In più l'uguaglianza vale se l'integrando al LHS è costante, e da qui si ha l'equazione in forma di Erdmann.