limite

[francicko]

Salve!
Ho un problema con il seguente limite:

[tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n!}{e^{n^2}}[/tex],

si può far vedere che il risultato è 0 usando semplicemente il principio di induzione?
Grazie per le eventuali risposte!

[GIMUSI]

ma un bel criterio del rapporto no eh

allego un tentativo alternativo con doppia induzione!!!...ma non me ne assumo alcuna responsabilità eh (e magari ci sono vie più dirette )...che ne dici?

[francicko]

Grazie tante per le risposte!!
Se a posto di [tex]n^2[/tex]a denominatore come esponente abbiamo semplicemente [tex]n[/tex] il nostro limite da come risultato infinito, ed idem sarebbe dimostrabile sempre con l'induzione, giusto?
Quest' ultimo implicherebbe che il limite della radice ennesima di [tex]n![/tex] va ad infinito, risultato che ho visto dimostrato solo con Stirling, o Cesàro.

[Massimo Gobbino]

il limite della radice ennesima di [tex]n![/tex] va ad infinito, risultato che ho visto dimostrato solo con Stirling, o Cesàro.

... o con un tranquillo criterio rapporto -> radice.

Certo poi uno può dire che il rapporto -> radice è un caso speciale di Cesàro, e che entrambi i criteri hanno il punto centrale della dimostrazione che si fa per induzione ...

In ogni caso, da nessuno dei limiti che si stanno discutendo qui segue il limite della radice n-esima di n!.

[francicko]

Scusi se insisto, ma [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac {n!}{e^n}[/tex] si può scrivere nella forma [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac {e^{\log n!}}{e^n}=+\infty[/tex], da qui non si deduce che [tex]\log n![/tex] tende più velocemente ad [tex]+\infty[/tex] di [tex]n[/tex]?
Quindi deve essere [tex]\displaystyle\lim_{n\to\+\infty}\frac {\log n!}{n}=+\infty[/tex], cioe' [tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{\log({n!}^{1/n}})=+\infty[/tex], pertanto deve aversi [tex]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}{{n!}^{1/n}=+\infty}[/tex] e' un ragionamento errato?

[GIMUSI]

però anche [tex]\frac{e^{2n}}{e^{n}}[/tex] tende a +inf ma [tex]\frac{{2n}}{{n}}[/tex] a 2

[francicko]

Avete ragione! Scusatemi per la banalita' della domanda.

[GIMUSI]

non devi scusarti di nulla, benedetti i dubbi!!! io ne ho tonnellate...