Limiti 1 (Eserciziario >= 2014)

[Massimo Gobbino]

Ragazzi/e, vedo che finalmente, anche se con fatica, la discussione comincia a prendere piede. Che ne direste però di fare le cose con più ordine, cioè aprendo thread separati per schede di esercizi diverse (usando il titolo della scheda come argomento del thread)? Così diventa molto più facile orientarsi, ora ed in futuro. Poi a quel punto penso io a spostare i messaggi scritti finora.

[Massimo Gobbino]

Scusate io avrei una domanda, ma nella prima parte degli esercizi dei Limiti 1, se io faccio "chi comanda si raccoglie" basta per dimostrare il risultato del limite o è necessario farlo col confronto?

La prima parte di limiti 1 è basata solo sui teoremi algebrici. Quindi sì, devi raccogliere chi comanda, farlo bene, e mostrare con gli opportuni teoremi algebrici (somma, prodotto o quoziente) dove vanno i vari pezzi. Il confronto serve invece nella seconda parte della tabella. A dire il vero non ho nemmeno capito con cosa avresti voluto confrontare nella prima parte

Certamente poi, in seconda lettura, potrai farli tutti a mente, avendo però la certezza di saper fare gli opportuni raccoglimenti se fosse necessario giustificare formalmente il procedimento.

[Massimo Gobbino]

In conclusione, siamo (o meglio siete) arrivati ad una versione condivisa di tutte le risposte di limiti 1?

[Stud B]

Shaun, allora anche a te viene -inf nella 13 riga!! Gimusiiiiiii!!

[Massimo Gobbino]

Sì, sicuramente GIMUSI correggerà i 2 limiti che non tornano. Fatto questo, almeno le risposte per limiti 1 saranno tutte corrette. Spero che non ci siano dubbi sui procedimenti, ma chi ne avesse può chiedere qui.

[GIMUSI]

Shaun, allora anche a te viene -inf nella 13 riga!! Gimusiiiiiii!!

come si dice...sbagliando si impara no?

[jackolanda]

Ciao a tutti! Avrei bisogno di una mano con l'esercizio della riga 13 colonna 1. Non so con cosa confrontarlo. Mi rendo conto del fatto che la successione tenda a +inf ma non saprei dimostrarlo. La traccia è

[tex]n \left(\pi - \arcsin\dfrac{1}{n} \right)[/tex]

[GIMUSI]

Ciao a tutti! Avrei bisogno di una mano con l'esercizio della riga 13 colonna 1. Non so con cosa confrontarlo. Mi rendo conto del fatto che la successione tenda a +inf ma non saprei dimostrarlo. La traccia è

[tex]n \left(\pi - \arcsin\dfrac{1}{n} \right)[/tex]

ad esempio riscrivendolo come:

[tex]=n \pi - \dfrac{\arcsin\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}[/tex]

[Massimo Gobbino]

O ancora più banalmente osservando che *non* si tratta di una forma indeterminata.

Quell'esercizio è concepito apposta: dopo un'intera pagina di forme indeterminate un limite del tutto innocente finisce per sconcertare. Ho avuto più domande su quello che su tutti gli altri!

[jackolanda]

In effetti è vero. L'avevo guardato con l'occhio sbagliato. Grazie mille!!

[GIMUSI]

In effetti è vero. L'avevo guardato con l'occhio sbagliato. Grazie mille!!

nemmeno io...qundo ti ho risposto...se ti può confortare

[Faust]

[Ciao a tutti! Ho dedicato un po' di tempo a fare questi limiti. Per la maggior parte tornano ma c'è una sostanziale differenza in alcuni tipi di esercizi. Allego la mia tabella per chiarire e faccio un esempio.
colonna 1 riga 10
(2+sin(n))/n
a mio avviso è più corretto scrivere che la successione tende a 0 da destra.
il ragionamento è che 2+sin(n) varia sempre tra 1 e 3. quindi la successione è definitivamente compresa tra 1/n e 3/n che tendono a 0 da dx. Quindi per il teorema dei carabinieri anche (2+sin(n))/n tende a 0 da dx. Non mi sembra che il mio ragionamento sia errato tuttavia se qualcuno nota un errore mi dica che voglio capire dove sbaglio. Chiedo anche se qualcuno può postare il procedimento di risoluzione del colonna 1 riga 12 perché come riportato in tabella proprio non capisco come si giunge al risultato.

[GIMUSI]

Per il primo esercizio, direi che è corretto dire che la "successione tende a zero" ed è anche giusto dire che la "successione tende a zero da destra" (i.e. con valori positivi). Il secondo modo dà un'informazione in più che in alcuni casi può essere utile.

Per il secondo esercizio, dividendo numeratore e denominatore per \(n^2\):

\(\dfrac{n\sin^2n+n^2\sin n}{(n+1)(n+\sqrt{n^3})}= \dfrac{\dfrac{\sin^2 n}{n}+\sin n}{(1+1/n)(1+\sqrt{n})}\)

si nota che il numeratore è limitato e il denominatore tende a \(\infty\).

[Faust]

Grazie mille Gimusi! Ora mi è chiaro. Nel secondo servizio mi ero perso l'ultima radice di n in basso a dx.
Lascio in allegato a questo messaggio i procedimenti che ho svolto per risolvere i vari limiti. Sono scritti a penna e non ordinatissimi ma magari qualcuno può trovarli utili. sono numerati da 1 a 37 seguendo l'ordine delle righe quindi colonna 1 riga 1 il numero 1, colonna 2 riga 1 il 2, colonna 3 riga 1 il 3, colonna 1 riga 2 il 4 e così via. Magari qualcuno li troverà utili.