Simulazione scritto d'esame 5

[GIMUSI]

se poi ho capito bene...data una [tex]f[/tex] simmetrica rispetto a [tex]B_0[/tex] la stessa base diagonalizza [tex]f[/tex] (teorema B-spettrale lez. 54)

Adesso non esageriamo. Il teorema B-spettrale dice che esiste una base ortonormale per B che diagonalizza f. Non dice che *ogni* base ortonormale per B diagonalizza f.

alllora non avevo capito affatto bene

che poi...per analogia al caso particolare del teorema spettrale...è chiaro che dovesse esser così...e cioè che assegnati [tex]f[/tex] e [tex]B[/tex], con [tex]f[/tex] simmetrica rispetto a [tex]B[/tex], la base che diagonalizza [tex]f[/tex] è anche ortonormale per [tex]B[/tex]

un altro dubbio:

il fatto che [tex]f[/tex] sia diagonalizzbile è solo condizione necessaria o anche sufficiente per l'esistenza di un prodotto scalare definito positivo rispetto al quale essa è simmetrica?

[GIMUSI]

@GIMUSI: per il (4c) dopo aver osservato che deve essere simile all'identità basta controllare la traccia

per la serie come complicarsi inutilmente la vita

diciamo che non ho brillato di furbizia

[lvrix]

Non ho capito il ragionamento di GIMUSI per l'esercizio 2.a , dato che non abbiamo punti fissi non dovremmo controllare la molteplicità dell'autovalore 1 ?

[GIMUSI]

Non ho capito il ragionamento di GIMUSI per l'esercizio 2.a , dato che non abbiamo punti fissi non dovremmo controllare la molteplicità dell'autovalore 1 ?

per il punto a) il procedimento è quello spiegato anche a lezione e non c dovrebbero essere punti non chiari

il punto b) una semplice applicazione

forse ti riferisci al punto c)? nello svolgimento ho cercato di classificare l'isometria, devo ammettere che sono argomenti un po' arrugginiti ora e non riesco a ricostruirli sul momento; cosa si dedurrebbe dall'autovalore 1?

[Massimo Gobbino]

cosa si dedurrebbe dall'autovalore 1?

Eheh, quest'anno, avendo un'ora di tempo in più a disposizione, penso di aver svolto un pochino meglio quella parte (è nella lezione sulla classificazione delle isometrie nello spazio). L'idea è sempre la stessa: da autovalori ed autovettori della "parte matriciale" + insieme dei punti fissi si deduce tutto su una isometria.

[GIMUSI]

cosa si dedurrebbe dall'autovalore 1?

Eheh, quest'anno, avendo un'ora di tempo in più a disposizione, penso di aver svolto un pochino meglio quella parte (è nella lezione sulla classificazione delle isometrie nello spazio). L'idea è sempre la stessa: da autovalori ed autovettori della "parte matriciale" + insieme dei punti fissi si deduce tutto su una isometria.

ecco...andrò a guardarmela per bene...grazie

[Dim]

Riesumo il post dopo mesi, ma un dubbio sulla risoluzione del 4c mi attanaglia.

Parto dalle conclusioni a cui è giunto Gimusi: non esistono valori di a per cui una matrice ortogonale trasformi Ba nell'identità.
Ora mi chiedo: non abbiamo dimostrato il contrario con a=0 al punto precedente? Abbiamo visto (con tanto di riprova) che M^t*B_0*M=Id, ma M è formata da vettori ortonormali, il che dovrebbe fare di essa una matrice ortogonale, quindi almeno per a=0 esiste una matrice ortogonale per la quale Ba è congruente all'identità.

In modo più generale, non sappiamo che una matrice simmetrica definita positiva è congruente all'identità se si usa un cambio di base ortonormale? Questa matrice di cambio di base, essendo formata da vettori ortonormali (rispetto a B) non è di conseguenza B-ortogonale? Se così fosse, dovrebbe seguire che tutti i valori per cui Ba è definita positiva (vedere punto a) ammettono una matrice ortogonale come si richiede.

Ora, io credo più a Gimusi che a me stesso, onestamente, per cui spiegatemi dove sbaglio

[Massimo Gobbino]

La M che dici tu sarebbe B-ortogonale, mentre quella richiesta dal testo è ortogonale e basta (cioè con inversa uguale alla trasposta), cioè in un certo senso ortogonale rispetto al canonico.

[Dim]

Perfetto, adesso torna tutto! grazie mille, come sempre!