funzioni integrali e sviluppi!

[Albert95]

È data la seguente funzione:

[tex]\displaystyle f(x)=2\int_{0}^{x}e^{t^5-t^6}\,dt-\int_{0}^{x^2}\sin(t^2)\,dt-2x[/tex]

Volevo sapere se ho capito il procedimento, se è esatto e già che ci sono se è formale:
Sviluppando l'esponenziale si ottiene:

[tex]\displaystyle\int_{0}^{x}1+t^5-t^6\,dt[/tex]

Sviluppando il seno invece si ha:

[tex]\displaystyle\int_{0}^{x^2}t^2-\frac{t^6}{6}\,dt[/tex]

A questo punto integrando tutto ho:

[tex]\displaystyle
2x+2\frac{x^6}{6}-\frac{x^7}{7}+o(x^7)-\frac{x^6}{3}+o(x^7)-2x[/tex]

Cioè

[tex]\dfrac{x^7}{7}+o(x^7)[/tex]

[Massimo Gobbino]

Brutalmente ci siamo, a parte (mi pare) un fattore 2 "missing in action".

Formalmente invece andrebbe spiegato tutto molto meglio. Ricordati sempre della vocina interna che chiede "perché?" ad ogni passaggio e prova a risponderle.

Intanto sposto in una sezione più appropriata, diciamo "calcolo integrale".

[Albert95]

Non mi vengono idee molto intelligenti, magari se trovo una minorazione e una maggiorazione degli argomenti delle funzioni posso dire che l'integrale è trattabile come ho fatto io?

[Massimo Gobbino]

Non servono idee intelligenti, ma un uso standard di o piccolo.

[tex]\displaystyle\int_0^x e^{t^5-t^6}\,dt=\int_0^x [1+t^5-t^6+o(t^9)]\,dt=x+\dfrac{x^6}{6}-\dfrac{x^7}{7}+o(x^{10})[/tex]

Cosa ho usato? La linearità dell'integrale ed il famoso lemmettino sulla primitiva di o piccolo.

Per il secondo serve pure la composizione. Pongo

[tex]G(x)=\displaystyle\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\int_0^x [t^2+o(t^5)]\,dt=\dfrac{x^3}{3}+o(x^6)[/tex]

da cui per composizione

[tex]G(x^2)=\dfrac{x^6}{3}+o(x^{12})[/tex]

Nulla di più sofisticato

[Albert95]

ah perfetto, grazie mille, credevo mancasse molto di piu'