Completezza numeri reali

[Giacomo]

Buongiorno a tutti,
non ho capito una cosa riguardo alla dimostrazione completezza implica assioma di continuita;
nella dimostrazione si fa di fatto una bisezione... per dimostrare che le due successioni sono di cauchy si usa che ak e bk formano intervalli via via piu piccoli perche l ampiezza si dimezza... ma per dire che gli intervalli sono piccoli a piacere a me serve una qualche forma di propieta archimedea che so dimostrare solo a partire dall assioma di continuita... cioè mi basterebbe dimostrare che la successione 2^n tende a piu infinito ma non ci riesco senza tirare in ballo il sup.

[Massimo Gobbino]

Giusto-giusto-giusto, grande domanda e grande dimenticanza mia . La situazione è questa. In un campo ordinato:

• Assioma di continuità implica proprietà archimedea + completezza alla Cauchy (dimostrato, spero decentemente, nel corso),
• proprietà archimedea + completezza alla Cauchy implicano l'assioma di continuità (la dimostrazione si fa per bisezione come ho accennato),
• la completezza alla Cauchy da sola non implica la proprietà archimedea, quindi a maggior ragione non implica l'assioma di continuità (l'esempio si googla ma di certo diventa semplice solo verso il secondo o terz'anno). Ecco del bel materiale per la prossima scheda di esercizi deliranti

Intanto però sposto da qualche altra parte, direi in errata corrige.