Simulazione scritto d'esame 2

[Leonardo]

Anche io non sono ferratissimo ancora con i cambi di base comunque cerco lo stesso di aiutarti. Allora se non ho capito male si ottengono due matrici,una con le colonne composte dai vettori v di partenza,l'altra con le colonne composte dai vettori w di arrivo,ovviamente nel loro rispettivo ordine. La prima la chiamiamo M e la seconda B ad esempio. A questo punto si sa che la matrice B è quella che dai vettori v da i w rispetto alla canonica.
cioè
B da i w rispetto alla canonica
INPUT comp rispetto a v
OUTPUT comp rispetto alla base canonica
M è la matrice che da i v rispetto alla canonica
INPUT comp rispetto a v
OUTPUT comp rispetto alla canonica

quindi devo invertire M perchè si riferisce ai vettori di cui devo fare l'applicazione lineare. Cioè devo fare in modo di esprimere le comp rispetto a v in output ed è proprio l'inversa che mi permette di farlo.
Per come ho capito io in soldoni la matrice M inversa "aggiusta" i dati nel senso che li esprime come componenti di v quando noi li immettiamo come componenti rispetto alla canonica e B prende proprio le componenti di v e ne fa l'applicazione lineare che come risultato da le componenti rispetto alla canonica. Spero di non aver detto eresie e di esserti stato utile

PS devo impararle per benino anche io queste cose perchè ho ancore qualche lacuna sull'argomento quindi non ti fidare

[Pirello]

Ok mi torna tutto tranne che non ho capito bene come sono fatte le tue due matrici.. In base all'esercizio ti verrebbero due matrici con due colonne sole ( la prima , la tua M, con i vettori v; la seconda , la tua B, con i vettori w).. Io ho composto la matrice M ( la mia ) mettendo insieme i vettori di V e di W ( i vettori che compongono le basi dei due sottospazi ) . È giusto o sbagliato??

[Leonardo]

Mi sono espresso male scusa. Noi abbiamo la base di R^4 data da V+W in somma diretta si ha che con la base di V l'applicazione fa una certa cosa mentre con quella di W un'altra
Quindi la nostra M avrà come colonne (v1,v2,w1,w2) cioè gli elementi della base e questa M va dalla canonica alla nostra base,ma a noi serve che faccia il contrario perchè l'applicazione prende i vettori con quelle componenti e va nella base canonica,per cui invertiamo M. A questo punto la B di cui tanto si parlava è (-v1,-v2,3w1,3w2). L'ordine delle operazioni che si fanno è del tutto analogo a quello della composizione di funzioni,cioè B*M^-1

[Pirello]

Perfetto!! Dubbio svelato Praticamente il cambio di base si fa con la matrice senza le condizioni , che bisogna invertire, e quella con le condizioni.. Grazie mille!!