samuele_basile wrote:Buon giorno a tutti. Scusate il disturbo ma vorrei degli aiuti per quanto riguarda gauss green. Più o meno in due dimensioni me la cavo, ma appena arrivato alla terza blocco totale. Ad esempio questo esercizio {(cos t, sen t, v), (t,v) appartengono [0, 2pi]x[0,1]} U {z=0} U {z=1} e la funzione è f(x,y,z)=x^2. Devo calcolare l'integrale della funzione sul dominio dato ma non so come applicare gauss. Chi potrebbe aiutarmi a risolverlo?
grazie in anticipo
Innanzi tutto dovresti scrivere il testo in maniera decente, altrimenti non si capisce nulla.
Comunque: quello che hai descritto è il bordo di un solido V in [tex]R^3[/tex], nel caso specifico si tratta di un cilindro in cui devi calcolare l'integrale di [tex]f[/tex] (quindi l'integrale si potrebbe fare facilmente anche senza usare Gauss-Green).
Se vuoi usare Gauss-Green si ha che:
[tex]\int_V f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz= \int_{\delta V}<F, \nu> d\sigma[/tex]
dove [tex]\nu[/tex] è il versore normale esterno al bordo di V.
Per applicare Gauss-Green per prima cosa devi trovare una funzione vettoriale la cui divergenza è [tex]f[/tex]. Ce ne sono tante, ad esempio (ma non è detto sia quella che ti fa fare meno conti, provane anche altre!), [tex]F(x,y,z) = (\frac{x^3}{3}, 0,0)[/tex].
Il bordo di V è costituito da 3 pezzi: il cerchio [tex]C_1=\{x^2+y^2 \leq 1, \; z = 0\}[/tex] dove il versore normale rivolto verso l'esterno è [tex](0,0,-1)[/tex], il cerchio [tex]C_2=\{x^2+y^2 \leq 1, \; z =1\}[/tex] dove il versore normale rivolto verso l'esterno è [tex](0,0,1)[/tex] e la superficie [tex]\{(\cos t, \sin t, v)\}\; (t,v)\in[0, 2\pi]\times [0,1][/tex] con vettore normale rivolto verso l'esterno (non normalizzato) [tex](\cos t, \sin t, 0)[/tex].
Il prodotto scalare di [tex]F[/tex] con la normale calcolato su [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex] è nullo.
Quindi il tuo integrale diventa
[tex]\int_0^{2\pi}dt \int_0^1 \frac{\cos^4 t}{3} dv[/tex]
