Simulazione scritto d'esame 4

[Massimo Gobbino]

Sylvester dà la certezza che esistono sottospazi di dimensione 2 sui quali la f.q. è definita positiva (n+=2; vd. esercizi teorici su prodotti scalari e thread su "forme quadratiche 1") ma non consente di determinarli

Talvolta sì, ma non in questo caso. Se per esempio i 3 determinanti, ottenuti orlando in maniera opportuna, fossero ++-, allora sapremmo che ci sono sottospazi di dimensione 2 su cui la forma è definita positiva, e che uno di tali sottospazi è proprio quello generato dai vettori della base canonica (o comunque della base nella quale la forma è rappresentata da quella matrice) corrispondenti ai primi due "orlamenti". Nell'esempio proposto, invece, tutti gli orlamenti che non producono zeri, e cioè il 2-3-1 o il 2-1-3, producono +--, e quindi non ce la si può cavare usando solo sottospazi generati da vettori della base canonica.

Il discorso vale in generale. Se abbiamo una forma in 6 variabili e un Sylvester opportuno ci dà ++++-+, allora abbiamo [tex]n_+=4[/tex] e [tex]n_-=2[/tex]; inoltre i 4 vettori della base corrispondenti al 4*4 generano un sottospazio di dimensione 4 su cui la forma è definita positiva. Se poi riusciamo ad organizzare le cose in modo che la successione di segni sia -+++++, allora i 2 vettori della base corrispondenti al 2*2 generano un sottospazio di dimensione 2 su cui la forma è definita negativa.

Capire questi discorsi vuol dire aver capito bene Sylvester, che alla fine è un metodo davvero potente.

[GIMUSI]

con Sylvester si impara sempre qualcosa...non avevo mai pensato di impiegarlo anche per determinare i sottospazi nei quali la forma è definita positiva...proverò a svolgere qualche esempio per vedere se ho afferrato l'idea

[Gabe]

Avevo intuito che non andasse bene sempre...però non sapevo in quali casi!
Per quanto riguarda il completamento dei quadrati avete qualche consiglio/suggerimento? perchè qualche volta mi trovo in difficoltà a riportarmi in una forma "comoda"

[GIMUSI]

...Per quanto riguarda il completamento dei quadrati avete qualche consiglio/suggerimento? perchè qualche volta mi trovo in difficoltà a riportarmi in una forma "comoda"

credo che l'essenziale sia quello che trovi nelle lezioni 50 e 51...poi come al solito servono tanti esercizi...penso che quelli della scheda "forme quadratiche 1" coprano tutti i casi possibili

il più delle volte basta procedere facendo fuori una variabile ad ogni passo...ovviamente lo si può fare in tanti modi diversi ma la procedura è abbastanza sistematica

poi ci sono i casi un po' più strani (del tipo xy) nei quali bisogna inventarsi qualcosa

in ogni caso penso sia opportuno fare una verifica finale sviluppando i quadrati ottenuti

[Gabe]

Nell'esercizio 2 punto a, ti torna che un sottospazio possa essere [tex]W=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex] oppure [tex]W=span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex]?

[GIMUSI]

Nell'esercizio 2 punto a, ti torna che un sottospazio possa essere [tex]W=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex] oppure [tex]W=span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex]?

scusami ma non ho capito a quale esercizio ti riferisci

[Gabe]

In simulazione scritto d'esame 4, esercizio 2, punto a, il quale chiede di determinare un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma quadratica risulta definita positiva

[GIMUSI]

Nell'esercizio 2 punto a, ti torna che un sottospazio possa essere [tex]W=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex] oppure [tex]W=span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex]?

nl mio svolgimento sulla base del completamento dei quadrati ottenuto, imponendo l'annullamento del termine negativo:

[tex]x-7/2z=0[/tex]

ho determinato questo sottospazio:

[tex]W=Span[(0,1,0),(7/2,0,1)][/tex]

per quanto riguarda le tue soluzioni direi che vanno bene; infatti le coppie di vettori sono in entrambi i casi linearmente indipendenti e inoltre:

-per [tex](x,y,z)=t(0,1,0)+s(1,1,0)[/tex] la F.Q. diventa [tex]t^2+3s^2[/tex]

-per [tex](x,y,z)=t(1,1,0)+s(0,1,-1)[/tex] la F.Q. diventa [tex]3t^2+7s^2[/tex]

come le hai determinate?

[Gabe]

da [tex]q(x,y,z)=y^2+2xy-6yz+xz[/tex], mi sono riportato alla forma: [tex]q(x,y,z)=(x+y+1/2z)^2-x^2-7yz-1/4z^2[/tex].

A questo punto ho notato che se prendo [tex]x=0, y=t, z=0[/tex], quindi [tex]V1=(0,t,0)[/tex] ottengo [tex]q(V1)>0[/tex].

Se prendo [tex]x=t, y=s, z=0[/tex], ottengo [tex]V2=(t,s,0)[/tex] e [tex]q(V2)>0[/tex].

Quindi un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma è definita positiva è [tex]V=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex].

Allo stesso modo ho ragionato per trovare un altro sottospazio [tex]W=Span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex].

Sinceramente la lineare indipendenza non l'avevo controllata, è un errore?

[GIMUSI]

da [tex]q(x,y,z)=y^2+2xy-6yz+xz[/tex], mi sono riportato alla forma: [tex]q(x,y,z)=(x+y+1/2z)^2-x^2-7yz-1/4z^2[/tex].

A questo punto ho notato che se prendo [tex]x=0, y=t, z=0[/tex], quindi [tex]V1=(0,t,0)[/tex] ottengo [tex]q(V1)>0[/tex].

Se prendo [tex]x=t, y=s, z=0[/tex], ottengo [tex]V2=(t,s,0)[/tex] e [tex]q(V2)>0[/tex].

Quindi un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma è definita positiva è [tex]V=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex].

Allo stesso modo ho ragionato per trovare un altro sottospazio [tex]W=Span[(1,1,0),(0,1,-1)][/tex].

Sinceramente la lineare indipendenza non l'avevo controllata, è un errore?

il procedimento mi pare un po' "a occhio" e poco sistematico...col completamento dei quadrati dovresti giungere ad una espressione come somma di quadrati (3 in questo caso, e direi meno quando la matrice associata ha autovalori nulli )

ottenuta tale espressione, l'individuazione di particolari sottospazi diventa semplice (vd. esempio del mio svolgimento)

la verifica della lineare indipendenza è d'obbligo altrimenti la dimensione 2 non è garantita...

non so se col procedimento del completamento dei quadrati di tipo sistematico la lineare indipendenza sia sempre assicurata...nel dubbio la controllerei sempre

[Gabe]

la verifica della lineare indipendenza è d'obbligo altrimenti la dimensione 2 non è garantita...

non so se col procedimento del completamento dei quadrati di tipo sistematico la lineare indipendenza sia sempre assicurata...nel dubbio la controllerei sempre

Si, hai ragione, è da controllare!

P.s. ho scritto un post in Calcolo Differenziale in più variabili, nel topic, Sviluppo di Taylor, mi sapresti dare una mano?

[Gabe]

Avrei anche un altra domanda: Se la matrice associata alla forma quadratica B, la quale è simmetrica, fosse stata definita positiva, avrei potuto trovare gli autovettori ortogonali e avrei potuto normalizzarli...ottenuta la base ortonormale M, mi trovo una nuova matrice C diagonale, con la quale posso scomporre la forma quadratica, giusto?
Ora, visto che per a=1 la matrice non è definita positiva, non posso scomporre la forma quadratica mediante una nuova matrice C.
Però, posso comunque provare a diagonalizzarla, se autovalori e molteplicità me lo consentono, e scomporre la forma con questa nuova matrice diagonale D?

[Massimo Gobbino]

da [tex]q(x,y,z)=y^2+2xy-6yz+xz[/tex], mi sono riportato alla forma: [tex]q(x,y,z)=(x+y+1/2z)^2-x^2-7yz-1/4z^2[/tex].

A questo punto ho notato che se prendo [tex]x=0, y=t, z=0[/tex], quindi [tex]V1=(0,t,0)[/tex] ottengo [tex]q(V1)>0[/tex].

Se prendo [tex]x=t, y=s, z=0[/tex], ottengo [tex]V2=(t,s,0)[/tex] e [tex]q(V2)>0[/tex].

Quindi un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma è definita positiva è [tex]V=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex].

Calma, calma ... Se hai trovato due vettori v1 e v2 con q(v1)>0 e q(v2)>0 *non* puoi concludere che la forma è definita positiva sullo Span di v1 e v2.

Ad esempio con la forma

[tex]q(x,y,z)=x^2-100xy+y^2+z^2[/tex]

verifichi facilmente che q(1,0,0)>0 e q(0,1,0)>0, ma non è vero che q è definita positiva sullo spazio generato da quei 2 vettori (provare (1,1,0) per credere).

[GIMUSI]

da [tex]q(x,y,z)=y^2+2xy-6yz+xz[/tex], mi sono riportato alla forma: [tex]q(x,y,z)=(x+y+1/2z)^2-x^2-7yz-1/4z^2[/tex].

A questo punto ho notato che se prendo [tex]x=0, y=t, z=0[/tex], quindi [tex]V1=(0,t,0)[/tex] ottengo [tex]q(V1)>0[/tex].

Se prendo [tex]x=t, y=s, z=0[/tex], ottengo [tex]V2=(t,s,0)[/tex] e [tex]q(V2)>0[/tex].

Quindi un sottospazio di dimensione 2 sul quale la forma è definita positiva è [tex]V=Span[(0,1,0),(1,1,0)][/tex].

Calma, calma ... Se hai trovato due vettori v1 e v2 con q(v1)>0 e q(v2)>0 *non* puoi concludere che la forma è definita positiva sullo Span di v1 e v2.

Ad esempio con la forma

[tex]q(x,y,z)=x^2-100xy+y^2+z^2[/tex]

verifichi facilmente che q(1,0,0)>0 e q(0,1,0)>0, ma non è vero che q è definita positiva sullo spazio generato da quei 2 vettori (provare (1,1,0) per credere).

chiedo scusa...mi son fatto prendere dall'entusiasmo creativo e le ho sparate grosse...ovviamente la forma quadratica, essendo quadratica appunto, non è lineare quindi non basta certo verificare il segno separatamente per i due vettori

ma allora, se ho capito bene, per determinare i sottospazi nei quali la forma è definita positiva (o negativa) si posso utilizzare:

- il completamento dei quadrati

- Sylvester (in alcuni casi)

- gli autovettori (ortogonali) corrispondenti agli autovalori positivi (o negativi)

[GIMUSI]

Avrei anche un altra domanda: Se la matrice associata alla forma quadratica B, la quale è simmetrica, fosse stata definita positiva, avrei potuto trovare gli autovettori ortogonali e avrei potuto normalizzarli...ottenuta la base ortonormale M, mi trovo una nuova matrice C diagonale, con la quale posso scomporre la forma quadratica, giusto?
Ora, visto che per a=1 la matrice non è definita positiva, non posso scomporre la forma quadratica mediante una nuova matrice C.
Però, posso comunque provare a diagonalizzarla, se autovalori e molteplicità me lo consentono, e scomporre la forma con questa nuova matrice diagonale D?

io l'ho capita così...

per il teorema spettrale le matrici simmetriche reali ammettono una base di autovettori ortogonali e sono quindi sempre diagonalizzabili (lez.42)...con il cambio di base che si realizza la matrice associata alla forma quadratica diviene diagonale...essendo la forma quadratica sempre la stessa la segnatura non cambia (lez. 52) per questo il numero di autovettori positivi (o negativi) corrisponde alla dimensione dei sottospazi nei quali la forma quadratica e definita positiva (o negativa)...