Errori nelle risposte. Esercizi di Analisi Matematica II

[GIMUSI]

...
Ma secondo te, calcolare l'area usando le coordinate polari sferiche, come ho fatto io, perché è sbagliato?...
Torna?

mi torna tutto con i tuoi risultati tranne la superficie laterale...allego qui lo svolgimento

[GIMUSI]

...

Di conseguenza [tex]S_{l-cono}=\pi r a[/tex] dove r=raggio e [tex]a=\sqrt{h^2+r^2}.[/tex]

Quindi, in teoria, [tex]S_{l-cono}=2\pi \sqrt8[/tex]

E [tex]S_{tot}=\pi(12+2\sqrt8)[/tex]

Torna? (MODIFICATO E CORRETTO)

ecco ora torna tutto

[andi]

...
Ma secondo te, calcolare l'area usando le coordinate polari sferiche, come ho fatto io, perché è sbagliato?...
Torna?

mi torna tutto con i tuoi risultati tranne la superficie laterale...allego qui lo svolgimento

Utilizando le polari sferiche e tenendo fisso fi come ha fatto volm a me torna il suo stesso risultato, ho capito il tuo procedimento ma non capisco il motivo del perche non torna con quel procedimento!

[GIMUSI]

...
Ma secondo te, calcolare l'area usando le coordinate polari sferiche, come ho fatto io, perché è sbagliato?...
Torna?

mi torna tutto con i tuoi risultati tranne la superficie laterale...allego qui lo svolgimento

Utilizando le polari sferiche e tenendo fisso fi come ha fatto volm a me torna il suo stesso risultato, ho capito il tuo procedimento ma non capisco il motivo del perche non torna con quel procedimento!

mi pare che volm92 nel frattempo lo abbia corretto...ma non mi pare abbia postato lo svolgimento...evidentemente c'era qualche errore d'impostazione dell'integrale

[volm92]

mi torna tutto con i tuoi risultati tranne la superficie laterale...allego qui lo svolgimento

Utilizando le polari sferiche e tenendo fisso fi come ha fatto volm a me torna il suo stesso risultato, ho capito il tuo procedimento ma non capisco il motivo del perche non torna con quel procedimento!

mi pare che volm92 nel frattempo lo abbia corretto...ma non mi pare abbia postato lo svolgimento...evidentemente c'era qualche errore d'impostazione dell'integrale

Allora: io ho corretto la formula da applicare per calcolare la superficie laterale del cono. Avevo scritto che "a" era l'altezza, ma invece era l'ipotenusa costruita sui cateti "altezza" e "base".
Applicando, poi quella formula, ho capito che il risultato viene uguale a quello tuo.

La domanda che fa andi, ed anche io, è:

Perché non viene lo stesso risultato immaginando di lavorare in coordinate polari SFERICHE?
Perché non è valida questa formula?

[tex]\int_0^{\sqrt8}\rho^2\int_0^{2\pi}d\theta\ cos\frac{\pi}{4}=\frac{32\pi}{3}[/tex]

Dove [tex]cos\frac{\pi}{4}=cos\varphi[/tex] (in quanto [tex]\varphi[/tex] è costante).

[tex]\rho[/tex] varia da 0 a [tex]\sqrt8[/tex] e [tex]\theta[/tex] da 0 a [tex]2\pi[/tex]

[tex]\rho^2 cos\varphi[/tex] è il pagamento.

[GIMUSI]

...

La domanda che fa andi, ed anche io, è:

Perché non viene lo stesso risultato immaginando di lavorare in coordinate polari SFERICHE?
Perché non è valida questa formula?

[tex]\int_0^{\sqrt8}\rho^2\int_0^{2\pi}d\theta\ cos\frac{\pi}{4}=\frac{32\pi}{3}[/tex]

Dove [tex]cos\frac{\pi}{4}=cos\varphi[/tex] (in quanto [tex]\varphi[/tex] è costante).

[tex]\rho[/tex] varia da 0 a [tex]\sqrt8[/tex] e [tex]\theta[/tex] da 0 a [tex]2\pi[/tex]

[tex]\rho^2 cos\varphi[/tex] è il pagamento.

non va bene così...il pagamento [tex]\rho^2 cos\varphi[/tex] è per gli integrali di volume

se si vuole impostare l'integrale di superficie in coordinate sferiche, si deve parametrizzare la superficie nel modo seguente:

[tex](x,y,z)=(\rho *\sqrt2/2 *cos\theta,\rho *\sqrt2/2 *sen\theta,\rho *\sqrt2/2)[/tex]

[tex]0 \leq \rho \leq 2\sqrt2[/tex]

[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]

dopo di che si procede ad impostare l'integrale di superficie (vd. lez. 44)

[GIMUSI]

...

La domanda che fa andi, ed anche io, è:

Perché non viene lo stesso risultato immaginando di lavorare in coordinate polari SFERICHE?
Perché non è valida questa formula?

[tex]\int_0^{\sqrt8}\rho^2\int_0^{2\pi}d\theta\ cos\frac{\pi}{4}=\frac{32\pi}{3}[/tex]

Dove [tex]cos\frac{\pi}{4}=cos\varphi[/tex] (in quanto [tex]\varphi[/tex] è costante).

[tex]\rho[/tex] varia da 0 a [tex]\sqrt8[/tex] e [tex]\theta[/tex] da 0 a [tex]2\pi[/tex]

[tex]\rho^2 cos\varphi[/tex] è il pagamento.

non va bene così...il pagamento [tex]\rho^2 cos\varphi[/tex] è per gli integrali di volume

se si vuole impostare l'integrale di superficie in coordinate sferiche, si deve parametrizzare la superficie nel modo seguente:

[tex](x,y,z)=(\rho *\sqrt2/2 *cos\theta,\rho *\sqrt2/2 *sen\theta,\rho *\sqrt2/2)[/tex]

[tex]0 \leq \rho \leq 2\sqrt2[/tex]

[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]

dopo di che si procede ad impostare l'integrale di superficie (vd. lez. 44)

oppure in maniera più semplice l'integrale si può impostare direttamente nel modo seguente:

[tex]\int_0^{\sqrt8}d\rho \int_0^{2\pi} \rho*cos\frac{\pi}{4} d\theta[/tex]

[EDIT] seppur ininfluente, ho corretto un "[tex]sen\frac{\pi}{4}[/tex]" con un "[tex]cos\frac{\pi}{4}[/tex]" (corrispondente alle convenzioni assunte per le coordinate sferiche)

[GIMUSI]

non va bene così...il pagamento [tex]\rho^2 cos\varphi[/tex] è per gli integrali di volume

se si vuole impostare l'integrale di superficie in coordinate sferiche, si deve parametrizzare la superficie nel modo seguente:

[tex](x,y,z)=(\rho *\sqrt2/2 *cos\theta,\rho *\sqrt2/2 *sen\theta,\rho *\sqrt2/2)[/tex]

[tex]0 \leq \rho \leq 2\sqrt2[/tex]

[tex]0 \leq \theta \leq 2\pi[/tex]

dopo di che si procede ad impostare l'integrale di superficie (vd. lez. 44)

oppure in maniera più semplice l'integrale si può impostare direttamente nel modo seguente:

[tex]\int_0^{\sqrt8}d\rho \int_0^{2\pi} \rho*cos\frac{\pi}{4} d\theta[/tex]

[EDIT] seppur ininfluente, ho corretto un "[tex]sen\frac{\pi}{4}[/tex]" con un "[tex]cos\frac{\pi}{4}[/tex]" (corrispondente alle convenzioni assunte per le coordinate sferiche)

allego qui lo svolgimento completato con il calcolo della superficie laterale interna in coordinate sferiche nei due modi descritti