Scritti anni 2012/2013

[ghisi]

Questi sono alcuni degli scritti di Analisi II degli anni 2012 e 2013.

M12_CS.pdf

compiti 2012

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M13_CS.pdf

compiti 2013

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[GIMUSI]

allego lo svolgimento del primo compito 2012

[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni al 3.b (discussione del caso divergente)

[GIMUSI]

allego lo svolgimento del secondo compito 2012

[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni all'esercizio 1 sulla base delle osservazioni della prof.ssa Ghisi

[ghisi]

allego lo svolgimento del primo compito 2012

[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni al 3.b (discussione del caso divergente)

esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un [tex]\rho[/tex].

b) Non va bene: usi sostanzialmente che [tex]\frac{log(\rho)}{\rho}[/tex] all'infinito è equivalente a [tex]\frac{1}{\rho}[/tex], ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni [tex]\beta > 0[/tex] esiste [tex]C_\beta[/tex] tale che [tex]\log(1+x) \leq C_\beta x^\beta[/tex] e scegliere [tex]\beta[/tex] in funzione del parametro [tex]\alpha[/tex]. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.

[GIMUSI]

...esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un [tex]\rho[/tex].

b) Non va bene: usi sostanzialmente che [tex]\frac{log(\rho)}{\rho}[/tex] all'infinito è equivalente a [tex]\frac{1}{\rho}[/tex], ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni [tex]\beta > 0[/tex] esiste [tex]C_\beta[/tex] tale che [tex]\log(1+x) \leq C_\beta x^\beta[/tex] e scegliere [tex]\beta[/tex] in funzione del parametro [tex]\alpha[/tex]. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.

gli integrali impropri parametrici sono davvero insidiosi...proverò a rifarlo secondo queste indicazioni...grazie

[ghisi]

allego lo svolgimento del secondo compito 2012

Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):

innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righe [tex]\nabla \Phi[/tex] e [tex]\nabla \Psi[/tex] ha sempre rango 2 in [tex]D[/tex].

[GIMUSI]

esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un [tex]\rho[/tex].

b) Non va bene: usi sostanzialmente che [tex]\frac{log(\rho)}{\rho}[/tex] all'infinito è equivalente a [tex]\frac{1}{\rho}[/tex], ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni [tex]\beta > 0[/tex] esiste [tex]C_\beta[/tex] tale che [tex]\log(1+x) \leq C_\beta x^\beta[/tex] e scegliere [tex]\beta[/tex] in funzione del parametro [tex]\alpha[/tex]. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.

per il punto a) ok

per il punto b)...allego uno svolgimento alternativo....anche se non credo di aver afferrato del tutto il suo ragionamento

[GIMUSI]

allego lo svolgimento del secondo compito 2012

Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):

innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righe [tex]\nabla \Phi[/tex] e [tex]\nabla \Psi[/tex] ha sempre rango 2 in [tex]D[/tex].

ho apportato la correzione...anche se ammetto che non ho del tutto chiaro il significato del "sistema 1"...

mi pare di aver capito che se il rango è 2 i gradienti dei vincoli sono linearmente indipendenti e quindi il sistema 2 ha significato

e se esistono punti singolari che succede?

[ghisi]

esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un [tex]\rho[/tex].

b) Non va bene: usi sostanzialmente che [tex]\frac{log(\rho)}{\rho}[/tex] all'infinito è equivalente a [tex]\frac{1}{\rho}[/tex], ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni [tex]\beta > 0[/tex] esiste [tex]C_\beta[/tex] tale che [tex]\log(1+x) \leq C_\beta x^\beta[/tex] e scegliere [tex]\beta[/tex] in funzione del parametro [tex]\alpha[/tex]. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.

per il punto a) ok

per il punto b)...allego uno svolgimento alternativo....anche se non credo di aver afferrato del tutto il suo ragionamento

In effetti sul secondo punto, per la parte convergenza hai un po' barato, dovresti dimostrare che l'integrale che ottieni alla fine in una variabile converge

Questa è una possibile dimostrazione (oppure si può fare usando i casi limite del confronto asintotico)

Fissiamo [tex]\alpha > 1[/tex] allora esiste [tex]\beta > 0[/tex] tale che [tex]2\alpha - 1 - \beta > 1[/tex]. Inoltre

[tex]\displaystyle \frac{\log (1+\rho)}{\rho^{2\alpha-1} }\leq c_\beta \frac{\rho^\beta}{\rho^{2\alpha-1}}[/tex]

Quindi

[tex]\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\log (1+\rho)}{\rho^{2\alpha-1} }d\rho < + \infty.[/tex]

[ghisi]

allego lo svolgimento del secondo compito 2012

Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):

innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righe [tex]\nabla \Phi[/tex] e [tex]\nabla \Psi[/tex] ha sempre rango 2 in [tex]D[/tex].

ho apportato la correzione...anche se ammetto che non ho del tutto chiaro il significato del "sistema 1"...

mi pare di aver capito che se il rango è 2 i gradienti dei vincoli sono linearmente indipendenti e quindi il sistema 2 ha significato

e se esistono punti singolari che succede?

Sono gli stessi problemi che si hanno in 2 variabili con un solo moltiplicatore (cuspidi, rami...). Nel peggiore dei casi le due equazioni potrebbero addirittura essere uguali!

[GIMUSI]

Questa è una possibile dimostrazione (oppure si può fare usando i casi limite del confronto asintotico)

Fissiamo [tex]\alpha > 1[/tex] allora esiste [tex]\beta > 0[/tex] tale che [tex]2\alpha - 1 - \beta > 1[/tex]. Inoltre

[tex]\displaystyle \frac{\log (1+\rho)}{\rho^{2\alpha-1} }\leq c_\beta \frac{\rho^\beta}{\rho^{2\alpha-1}}[/tex]

Quindi

[tex]\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\log (1+\rho)}{\rho^{2\alpha-1} }d\rho < + \infty.[/tex]

ecco il concetto mi era chiaro...il logaritmo è una gran schiappa che perde anche con il più debole polinomio...ma non sapevo come formalizzarlo...grazie

[GIMUSI]

allego lo svolgimento del terzo compito 2012

EDIT] la rev01 recepisce le numerose osservazioni e correzioni indicate dalla prof.ssa Ghisi

[ghisi]

allego lo svolgimento del terzo compito 2012

Primo esercizio

punto b) Non serve fare la matrice Hessiana: una volta che hai dimostrato che esiste il minimo è per forza nell' unico punto stazionario che hai trovato.

(N.B. si poteva fare tutto anche direttamente in 3 variabili con i moltiplicatori)

Secondo esercizio

Punto b) Quei [tex]\pi[/tex] al denominatore non mi tornano. L'integrale non è esattamente la coordinata del baricentro. Non devi dividere per l'area. La cosa più semplice è vederlo come un semplice integrale 2 dimensionale.

Terzo esercizio

Punto b) una volta che hai cambiato variabili il dominio non è piu' un cerchio quindi non puoi passare impunemente in coordinate polari (n.b. nel momento in cui scrivi le coordiante polari devi dire quale è il dominio in cui variano non puoi lasciare [tex]B[/tex]').

Quarto esercizio

punto a) Il modo di dimostrare la semplicità non è proprio corretto: escludi in partenza che sia [tex]s[/tex] che [tex]t[/tex] siano gli estremi. Potrebbe però a priori succedere [tex]\gamma(t) = \gamma(s)[/tex] per [tex]s[/tex] un punto interno all'intervallo e [tex]t[/tex] un estremo. C'è un modo molto più semplice di quello che hai usato: dalla seconda equazione [tex]\pi(t-s) = t^2 - s^2[/tex] quindi se [tex]t\neq s[/tex] deve essere [tex]t+s = \pi[/tex]. A questo punto basta sostituire nella prima equazione.

punto b) Perchè Stokes e non Gauss-Green? Ok sono la stessa cosa, ma visto che per l'area ci sono gia' le formule senza doversele ricavare tutte le volte... Per il resto: dovresti tener conto dell'orientazione fin dall'inzio e non fare tutto senza preoccupartene e poi alla fine cambiare segno. La prima ugualianza che hai scritto vale solo con le percorrenze nel senso corretto. Se vuoi farlo così devi prima specificare che è questo che stai facendo consapevolmente cioè stai facendo i conti sapendo che il segno alla fine sarà sbagliato, ma vuoi evitare di "portarti dietro" un segno [tex]-[/tex].

[GIMUSI]

allego lo svolgimento del terzo compito 2012

Primo esercizio

punto b) Non serve fare la matrice Hessiana: una volta che hai dimostrato che esiste il minimo è per forza nell' unico punto stazionario che hai trovato.

(N.B. si poteva fare tutto anche direttamente in 3 variabili con i moltiplicatori)

l'ho rifatto anche con i moltiplicatori e segnalando l'inutilità dello studio con l'hessiana

Secondo esercizio

Punto b) Quei [tex]\pi[/tex] al denominatore non mi tornano. L'integrale non è esattamente la coordinata del baricentro. Non devi dividere per l'area. La cosa più semplice è vederlo come un semplice integrale 2 dimensionale.

mi son fatto prendere dal pericolosissimo entusiasmo creativo...in effetti l'integrale rappresenta il baricentro moltiplicato l'area...in entrambi i casi ho utilizzato questa proprietà come verifica...spero finalmente in modo corretto

Terzo esercizio

Punto b) una volta che hai cambiato variabili il dominio non è piu' un cerchio quindi non puoi passare impunemente in coordinate polari (n.b. nel momento in cui scrivi le coordiante polari devi dire quale è il dominio in cui variano non puoi lasciare [tex]B[/tex]').

ho corretto il passaggio incriminato minorando il nuovo dominio con un quarto di cerchio e poi passando alle coordinate polari

Quarto esercizio

punto a) Il modo di dimostrare la semplicità non è proprio corretto: escludi in partenza che sia [tex]s[/tex] che [tex]t[/tex] siano gli estremi. Potrebbe però a priori succedere [tex]\gamma(t) = \gamma(s)[/tex] per [tex]s[/tex] un punto interno all'intervallo e [tex]t[/tex] un estremo. C'è un modo molto più semplice di quello che hai usato: dalla seconda equazione [tex]\pi(t-s) = t^2 - s^2[/tex] quindi se [tex]t\neq s[/tex] deve essere [tex]t+s = \pi[/tex]. A questo punto basta sostituire nella prima equazione.

con questo "hint" diventa un gioco da ragazzi...ma non era così facile da vedere

punto b) Perchè Stokes e non Gauss-Green? Ok sono la stessa cosa, ma visto che per l'area ci sono gia' le formule senza doversele ricavare tutte le volte... Per il resto: dovresti tener conto dell'orientazione fin dall'inzio e non fare tutto senza preoccupartene e poi alla fine cambiare segno. La prima ugualianza che hai scritto vale solo con le percorrenze nel senso corretto. Se vuoi farlo così devi prima specificare che è questo che stai facendo consapevolmente cioè stai facendo i conti sapendo che il segno alla fine sarà sbagliato, ma vuoi evitare di "portarti dietro" un segno [tex]-[/tex].

l'ho rifatto partendo da GG...del segno sbagliato in effetti me ne ero accorto fin dall'inizio e mi aspettavo un segno meno...ma non avevo pensato al fatto che l'uguglianza scritta fosse proprio sbagliata

un disastro insomma...sarei stato bocciato?

aggiorno il file in rev01 con tutte le correzioni segnalate

[ghisi]

un disastro insomma...sarei stato bocciato?

Adesso non esageriamo! Diciamo che non avresti preso 30, ma da qui a non passare l'esame...