sviluppo di taylor

[matt_93]

Salve a tutti,
Ho un dilemma su come usare taylor...
Ho una funzione [tex]f (x, y)=xy^{4}-arctan (xy)[/tex], definita su tutto R2
Devo determinare i punti stazionari e stabilire di che tipo sono....essendo l hessiana un procedimento lungo e noioso, come li determino con gli sviluppi di taylor? E come faccio ad intuire di che tipo sono?

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento con entrambi i metodi...non mi pare che in questo caso taylor sia meglio dello studio con l'hessiana

[matt_93]

Grazie mille, Gimusi,
non c è un modo per farlo senza stare a determinare le derivate seconde?
Ad esempio mi trovo i punti ponendo il gradiente della funzione pari a zero:
Per stabilire se sono di sella non basta sapere come la funzione si comporta in prossimità di tali punti? Ad esempio se prendo la retta y=1 per (0, 1) non basta vedere come si comparta la funzione in quel caso?

[GIMUSI]

Grazie mille, Gimusi,
non c è un modo per farlo senza stare a determinare le derivate seconde?
Ad esempio mi trovo i punti ponendo il gradiente della funzione pari a zero:
Per stabilire se sono di sella non basta sapere come la funzione si comporta in prossimità di tali punti? Ad esempio se prendo la retta y=1 per (0, 1) non basta vedere come si comparta la funzione in quel caso?

mi pare di aver capito che in generale per vedere come si comporta una funzione nell'intorno di un punto stazionario si devono fare (almeno) le derivate seconde, cioè studiare l'hessiana (ossia la forma quadratica che approssima la funzione nei punti stazionari)...in tal caso credo che il lavoro da fare sia equivalente a quello per determinare lo sviluppo di taylor n=2...se poi il det dell'hessiana viene nullo allora bisogna considerare gli sviluppi di taylor per n>2...non ho capito come funziona il metodo che suggerisci con le rette

[matt_93]

In pratica voglio vedere come si comporta la funzione vicino al punto considerato...
In (0, 1) posso considerare la retta y=1 e vedere che in (t, 1), la funzione
[tex]t-arctant[/tex] ha un flesso in t=0, questo potrebbe bastare per dire che è un punto di sella?
Lo stesso, potrei considerare (t, t) e vedere che la funzione si comporta allos tesso modo in t=0,
potrebbe essere um valido ragionamento?

[GIMUSI]

In pratica voglio vedere come si comporta la funzione vicino al punto considerato...
In (0, 1) posso considerare la retta y=1 e vedere che in (t, 1), la funzione
[tex]t-arctant[/tex] ha un flesso in t=0, questo potrebbe bastare per dire che è un punto di sella?
Lo stesso, potrei considerare (t, t) e vedere che la funzione si comporta allos tesso modo in t=0,
potrebbe essere um valido ragionamento?

forse può consentire di escludere che si tratti di max o min locali ma per dire che è un "punto di sella" mi pare si debba necessariamente studiare la derivata seconda (o equivalentemente lo sviluppo di taylor n=2)...attendiamo considerazioni chiarificatrici del prof

[Gabe]

anch'io ho trovato un problema simile con questa funzione: [tex]f(x,y)=xy/(1+x^4+y^4)[/tex], definita su tutto [tex]R^2[/tex], una volta trovati i punti stazionari facendo il gradiente e risolvendo i sistemi, mi trovo un pò di punti, per vedere di cosa si tratta devo studiare la matrice Hessiana, ma risulta abbastanza lungo questo procedimento ed è facile sbagliarsi, senza contare che c'è la possibilità che poi venga il determinante uguale a 0.
Non ci sono davvero altri metodi?
In questo esercizio ho visto fare questo ragionamento: in [tex](0,0)[/tex] c'è un punto di sella, basta considerare [tex]f(x,x)[/tex] e [tex]f(x, -x)[/tex] vicino a [tex](0,0)[/tex], però non è chiaro il perchè.
Sempre in questo esercizio si dimostra che il limite per [tex]x^2+y^2[/tex] che tendono all'infinito è uguale a [tex]0[/tex], quindi per Weierstrass generalizzato ha punti di massimo e di minimo, perchè? Weierstrass non diceva che se il limite tende a più infinito allora esiste un minimo?

[GIMUSI]

anch'io ho trovato un problema simile con questa funzione: [tex]f(x,y)=xy/(1+x^4+y^4)[/tex], definita su tutto [tex]R^2[/tex], una volta trovati i punti stazionari facendo il gradiente e risolvendo i sistemi, mi trovo un pò di punti, per vedere di cosa si tratta devo studiare la matrice Hessiana, ma risulta abbastanza lungo questo procedimento ed è facile sbagliarsi, senza contare che c'è la possibilità che poi venga il determinante uguale a 0.
Non ci sono davvero altri metodi?
In questo esercizio ho visto fare questo ragionamento: in [tex](0,0)[/tex] c'è un punto di sella, basta considerare [tex]f(x,x)[/tex] e [tex]f(x, -x)[/tex] vicino a [tex](0,0)[/tex], però non è chiaro il perchè.
Sempre in questo esercizio si dimostra che il limite per [tex]x^2+y^2[/tex] che tendono all'infinito è uguale a [tex]0[/tex], quindi per Weierstrass generalizzato ha punti di massimo e di minimo, perchè? Weierstrass non diceva che se il limite tende a più infinito allora esiste un minimo?

allego lo svolgimento...in effetti il calcolo delle derivate seconde è un po' noioso ma non mi pare inaffrontabile...i determinanti delle hessiane non si annullano e si riesce a studiare la natura di tutti i punti stazionari...

...per quanto riguarda gli altri metodi direi che in questo caso taylor risulterebbe del tutto equivalente come onere di calcolo...sugli altri non ti so dire nulla, non so che limiti abbiano e se siano convenienti in un caso come questo

per quanto riguarda il teorema weierstrass nella lez 103 di AM1 2010/11 sono trattate le sue varianti...il caso in esame dovrebbe essere una estensione della quarta variante (f continua, nulla nell'origine e con limite zero all'infinito)

[Massimo Gobbino]

per quanto riguarda il teorema weierstrass nella lez 103 di AM1 2010/11 sono trattate le sue varianti...il caso in esame dovrebbe essere una estensione della quarta variante (f continua, nulla nell'origine e con limite zero all'infinito)

A che serve google? Abbiamo GIMUSI

[GIMUSI]

per quanto riguarda il teorema weierstrass nella lez 103 di AM1 2010/11 sono trattate le sue varianti...il caso in esame dovrebbe essere una estensione della quarta variante (f continua, nulla nell'origine e con limite zero all'infinito)

A che serve google? Abbiamo GIMUSI

è tutto merito dell'ottima organizzazione dell'archivio didattico

[Gabe]

Gimusi è una mano Santa per questo forum!

[GIMUSI]

Gimusi è una mano Santa per questo forum!

per me è un divertimento...ed una grande occasione per imparare sempre qualcosa di nuovo...se poi si è anche utili a qualcuno tanto meglio...mi motiva ancora di più a continuare...mi piacerebbe solo che fossimo un po' più numerosi

[Gabe]

quando utilizziamo gli sviluppi di Taylor nell'intorno di un punto, come si fa poi a dire se esso è un punto di max/min o altro solo guardando lo sviluppo?

[GIMUSI]

quando utilizziamo gli sviluppi di Taylor nell'intorno di un punto, come si fa poi a dire se esso è un punto di max/min o altro solo guardando lo sviluppo?

con uno sviluppo al secondo ordine ci si riconduce allo studio di una forma quadratica (equivalente all'hessiana)

per ordini superiori non credo ci siano metodi generali, qualcuno è stato segnalato qui nel thread ma non mi è mai capitato di applicarli

[Gabe]

Prendiamo per esempio [tex]f(x, y)=ln(1+x^4+y^2)[/tex], e vogliamo studiare cosa è il punto [tex](0, 0)[/tex],

[tex]H_f(0, 0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}[/tex], quindi è semidefinita positiva,

lo sviluppo di ordine [tex]2[/tex] è [tex]y^2[/tex], sapendo che è semidefinita positiva posso dire che si tratta lo stesso di un punto di minimo?