Solidi di rotazione

[Angelica27]

Scusi professore, negli esercizi sui solidi di rotazione, nel momento in cui vado a calcolare la coordinata del baricentro del solido che mi serve, non riesco ad impostare l'integrale triplo; soprattutto dal secondo esercizio in poi, cioè da quando per esempio x varia tra 0 e y e a me serve proprio la xG. Non so se sono riuscita a spiegarmi... Lo sto provando in tutti i modi, ma proprio non capisco cosa sto combinando!

[GIMUSI]

se posti il testo degli esercizi posso provare a darti una mano

PS
credo che questo tipo di esercizi vada nella sezione "Calcolo integrale in più variabili"

[Massimo Gobbino]

credo che questo tipo di esercizi vada nella sezione "Calcolo integrale in più variabili"

Già, io intanto sposto ...

[matt_93]

Ne approfitto per fare una domanda: la formula diretta per i solidi di rotazione
[tex]\pi\int_{a}^{b} \varphi(x)^{2}\, dx[/tex]
Io non la riesco ad applicare, certe volte, perché non riesco a capire certe volte quale sia la curva [tex]\varphi (x)[/tex]:
Esempio semplice:
Volume del solido descritto dalla rotazione intorno asse x della figura
[tex]0<=x <=1, 0<=y<=x^{2}[/tex]
in questo caso [tex]\varphi (x)[/tex] chi è?

[GIMUSI]

Esempio semplice:
Volume del solido descritto dalla rotazione intorno asse x della figura
[tex]0<=x <=1, 0<=y<=x^{2}[/tex]
in questo caso [tex]\varphi (x)[/tex] chi è?

credo che sia importante fare prima di tutto un disegno del solido di rotazione

in questo caso semplice [tex]\varphi (x)=x^2[/tex] (=raggio delle sezioni del solido)

[EDIT] lo svolgimento è stato postato in un messaggio successivo anche per il caso di rotazione attorno all'asse y

[matt_93]

Grazie ancora! Ultime 2 domande e poi non ti scoccio più :
1) cosa succede se invece ruoto attorno asse y?
2) volume solido ottenuto dalla rotazione attorno asse z della figura
[tex]1 <=y <=2, 0 <=zy <=1[/tex]

[GIMUSI]

Grazie ancora! Ultime 2 domande e poi non ti scoccio più :
1) cosa succede se invece ruoto attorno asse y?
2) volume solido ottenuto dalla rotazione attorno asse z della figura
[tex]1 <=y <=2, 0 <=zy <=1[/tex]

non scocci affatto...

allego lo svolgimento del primo esercizio completato con il caso di rotazione attorno all'asse y (in questo caso si devono considerare due raggi)

e lo svolgimento del secondo (qui è anche necessario spezzare l'integrale in due parti) con verifica tramite guldino

[alex994]

scusate mi potreste aiutare a impostare l'integrale per la coordinata x del baricentro della figura descritta da 0≤y≤2 , 0≤x≤y, e con asse di rotazione x

[GIMUSI]

scusate mi potreste aiutare a impostare l'integrale per la coordinata x del baricentro della figura descritta da 0≤y≤2 , 0≤x≤y, e con asse di rotazione x

lo trovi nel thread "Errata corrige"

[alex994]

grazie per avermi detto dove trovare lo svolgimento, ma non capisco sul calcolo di [tex]$x_g$[/tex] da dove venga fuori quel [tex]$2^2-x^2$[/tex]

[GIMUSI]

grazie per avermi detto dove trovare lo svolgimento, ma non capisco sul calcolo di [tex]$x_g$[/tex] da dove venga fuori quel [tex]$2^2-x^2$[/tex]

è per il calcolo della superficie della corona circolare che ha [tex]2[/tex] come raggio esterno e [tex]x[/tex] come raggio interno

[alex994]

Grazie mille
Senza di te sarei proprio perso!!!!

[Gabe]

Per questo solido di rotazione:

[tex]1 <=y <=2, 0 <=zy <=1[/tex]

se calcolo il volume con la formula diretta mi torna come a voi [tex]2\pi[/tex], ma se uso Guldino mi viene: [tex]Area=\int_{1}^2 dy \int_0^{1/y} dz = ln(2)[/tex]
[tex]z_G=\int_{1}^2 dy \int_0^{1/y} z dz = 1/2[/tex]

[tex]Vol=Area*2\pi*z_G=\pi ln(2)[/tex]

Mi trovo anche in difficoltà a trovare le coordinate del barincentro del solido

[GIMUSI]

Per questo solido di rotazione:

[tex]1 <=y <=2, 0 <=zy <=1[/tex]

se calcolo il volume con la formula diretta mi torna come a voi [tex]2\pi[/tex], ma se uso Guldino mi viene: [tex]Area=\int_{1}^2 dy \int_0^{1/y} dz = ln(2)[/tex]
[tex]z_G=\int_{1}^2 dy \int_0^{1/y} z dz = 1/2[/tex]

[tex]Vol=Area*2\pi*z_G=\pi ln(2)[/tex]

Mi trovo anche in difficoltà a trovare le coordinate del barincentro del solido

per calcolare [tex]z_G[/tex] si deve dividere per l'area e il [tex]ln2[/tex] si elide

[Gabe]

Ho una domanda su questi due esercizi, come faccio a farli con la formula diretta? con Guldino mi tornano, ma nell'altro modo no

Calcolare il volume dei solidi di rotazione:

[tex]1)[/tex] Figura: [tex]\{0 \leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq xsin(x) \}[/tex] rotazione intorno a [tex]x[/tex]


[tex]2)[/tex] Figura: [tex]\{0 \leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq xsin(x) \}[/tex] rotazione intorno a [tex]y[/tex]