Sottospazi vettoriali 1

[eclipse-sk]

[tex](x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2[/tex][tex]= x_1^2+y_1^2 + x_2^2+y_2^2 +2x_1x_2+2y_1y_2 =[/tex][tex]2+2x_1x_2+2y_1y_2 \neq 1[/tex]
(non capisco da dove ti venga fuori la diseguaglianza)

in pratica da [tex]2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 1[/tex], ho cercato di dimostrare che [tex]2(x_1x_2 + y_1y_2)[/tex] in generale fosse diverso da -1.. comunque se ho capito bene si tratta di dimostrarlo con controesempi..

[GIMUSI]

[tex](x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2[/tex][tex]= x_1^2+y_1^2 + x_2^2+y_2^2 +2x_1x_2+2y_1y_2 =[/tex][tex]2+2x_1x_2+2y_1y_2 \neq 1[/tex]
(non capisco da dove ti venga fuori la diseguaglianza)

in pratica da [tex]2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 1[/tex], ho cercato di dimostrare che [tex]2(x_1x_2 + y_1y_2)[/tex] in generale fosse diverso da -1.. comunque se ho capito bene si tratta di dimostrarlo con controesempi..

esatto come nell'esempio 5 della lezione 12 ...e sufficiente un solo controesempio

[GIMUSI]

in pratica da [tex]2 + 2x_1x_2 + 2y_1y_2 = 1[/tex], ho cercato di dimostrare che [tex]2(x_1x_2 + y_1y_2)[/tex] in generale fosse diverso da -1.. comunque se ho capito bene si tratta di dimostrarlo con controesempi..

tra l'altro in questo caso si può mostrare che la relazione è soddisfatta solo da coppie di punti che “distano” sulla circonferenza unitaria di un angolo [tex]\theta= 2\pi/3[/tex]

infatti il modulo del vettore somma deve risultare unitario

[tex]2cos(\theta/2)=1[/tex]

quindi

[tex]cos(\theta/2)=1/2[/tex]

[tex]\theta/2=\pm \pi/3[/tex]

[tex]\theta=\pm 2\pi/3[/tex]

ma come detto è sufficiente un solo controesempio per escludere che si tratti di un sottospazio

[Gabe]

Ragazzi una domanda, prendo come spazio vettoriale [tex]V=\mathbb{R}^3[/tex] e come sottospazio [tex]x+y+z=2x+3y+4z[/tex], voglio verificare se lo è:
[tex](x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z3)=2(x1+x2)+3(y1+y2)+4(z1+z2)[/tex], quindi viene:[tex]x1+2y1+3z1 +x2+2y2+3z2=0[/tex]. Quindi è un sottospazio poichè verifica l uguaglianza 0=0.
Se volessi trovare una base e quindi poi in base agli elementi di essa, vedere la dimensione come potrei fare?

[GIMUSI]

l’insieme da considerare è definito dalla relazione:

[tex]x+y+z=2x+3y+4z[/tex]

la prima cosa da fare è verificare se l’insieme dei vettori/punti che soddisfano la relazione data costituisce un sottospazio vettoriale

la procedura è quella basata sulla definizione; si considerano due vettori/punti che soddisfano la relazione data:

[tex]P_1=(x_1,y_1,z_1)[/tex]

[tex]P_2=(x_2,y_2,z_2)[/tex]

per determinare se si tratta di un sottospazio si deve verificare che la stessa relazioni sia soddisfatta anche dalle loro combinazioni lineari ossia dai seguenti punti/vettori:

[tex]P_1+P_2=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)[/tex]

[tex]aP_1=(ax_1,ay_1,az_1)[/tex]

la verifica è immediata, quindi si tratta di un sottospazio

base e dimensione si determinano risolvendo il sistema (1 equazione in tre incognite):

[tex]x+2y+3z=0[/tex]

è facile vedere che la soluzione in forma parametrica è del tipo:

[tex]t(2,-1,0)+s(0,-3,2)[/tex]

quindi una base è costituita dai vettori:

[tex](2,-1,0), (0,-3,2)[/tex]

e la dimensione è due (geometricamente si tratta di un piano per l’origine)

[Gabe]

Perfetto allora procedevo bene, ti volevo chiedere anche un altra cosa, nel punto 4, come svolgi [tex]p(x)+p(2x)=5x[/tex]?

[GIMUSI]

Perfetto allora procedevo bene, ti volevo chiedere anche un altra cosa, nel punto 4, come svolgi [tex]p(x)+p(2x)=5x[/tex]?

il procedimento non cambia, si considerano due vettori/polinomi che soddisfano la reazione:

[tex]p_1(x)+p_1(2x)=5x[/tex]

[tex]p_2(x)+p_2(2x)=5x[/tex]

e si verifica se anche le combinazioni lineari

[tex](p_1+p_2)(x)=?[/tex]

[tex]ap_1(x)=?[/tex]

soddisfano la stessa relazione

[Gabe]

Grazie mille ancora!

[Vado un attimo off-topic, GIMUSI abiti per caso a Pisa?, vorrei chiederti una cosa, ti posso contattare in privato? ti lascio la mia email andre_gabe AT hotmail PUNTO it]

[EDIT (Amministratore): ho offuscato la mail così non ti arrivano tonnellate di spam ...]

[Pirello]

Io sto avendo dei problemi con questi esercizi, molto probabilmente perchè non sono ancora entrato nella logica di questi tipi di esercizi..

Per esempio, prendendo il secondo esercizio del punto 1: [tex]W={(x,y) in R^2: 2x+3y=0}[/tex] .Usando la definizione di sottospazio vettoriale devo verificare che la somma di due vettori generici [tex]v1=(x1,y1)[/tex]e [tex]v2=(x2,y2)[/tex]stia in W. A questo punto faccio[tex]2(x1+x2)+3(y1+y2)[/tex]e qui mi blocco perchè sostanzialmente non ho capito cosa devo dimostrare dopo aver costruito quell'equazione (devo dimostrare che l'equazione è uguale a zero? come faccio a dimostrare che la somma è consentita per qualsiasi v(n)? Devo sostituire dei valori a x e y?)

[Massimo Gobbino]

Sì, si tratta proprio di entrare nella logica, poi di solito sono davvero banali.

Come dici tu devi prendere un generico vettore [tex]v_1=(x_1,y_1)[/tex] che sta in W, cioè verifica [tex]2x_1+3y_1=0[/tex], ed un generico vettore [tex]v_2=(x_2,y_2)[/tex] che sta in W, cioè verifica [tex]2x_2+3y_2=0[/tex].

Poi devi fare la loro somma, cioè il vettore [tex]v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)[/tex], e chiederti se sta a sua volta in W, cioè verifica [tex]2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)=0[/tex].

Devi quindi dimostrare la relazione [tex]2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)=0[/tex] a partire dalle due relazioni supposte vere per ipotesi, cioè [tex]2x_1+3y_1=0[/tex] e [tex]2x_2+3y_2=0[/tex]. La cosa è chiaramente banale, in quanto basta sommare le due note per ottenere quella da dimostrare.

Poi devi fare la stessa cosa per il prodotto di un vettore per un numero, cioè prendere un generico vettore [tex]v=(x,y)[/tex] di W (che quindi verifica 2x+3y=0), pendere un generico numero [tex]\alpha[/tex], e sperare che il vettore [tex]\alpha v=(\alpha x,\alpha y)[/tex] sia ancora in W, cioè verifichi [tex]2(\alpha x)+3(\alpha y)=0[/tex]. Anche questa è banale ...

Nota però che in tutto ciò è fondamentale che l'equazione che definisce W sia omogenea: se era 2x+3y=1 non funziona più nulla.

Dare dei valori non serve a nulla, se non a fare degli esempi per convincersi che la cosa è vera. Tutte le volte che bisogna dimostrare che una certa relazione vale "per ogni ..." non serve a nulla verificarla in qualche caso.

Dare dei valori può tornare utile solo in caso di esito negativo. Ad esempio, se vuoi dimostrare che un certo W *non* è un sottospazio vettoriale, basta che trovi due vettori di W a tua scelta la cui somma non sta in W. Basta infatti la presenza di quei due per escludere che la somma stia in W *per ogni scelta* dei due addendi in W.

[Pirello]

Devi quindi dimostrare la relazione [tex]2(x_1+x_2)+3(y_1+y_2)=0[/tex] a partire dalle due relazioni supposte vere per ipotesi, cioè [tex]2x_1+3y_1=0[/tex] e [tex]2x_2+3y_2=0[/tex]. La cosa è chiaramente banale, in quanto basta sommare le due note per ottenere quella da dimostrare.

Poi devi fare la stessa cosa per il prodotto di un vettore per un numero, cioè prendere un generico vettore [tex]v=(x,y)[/tex] di W (che quindi verifica 2x+3y=0), pendere un generico numero [tex]\alpha[/tex], e sperare che il vettore [tex]\alpha v=(\alpha x,\alpha y)[/tex] sia ancora in W, cioè verifichi [tex]2(\alpha x)+3(\alpha y)=0[/tex]. Anche questa è banale ...

Perfetto, penso di aver capito! È come se fosse una dimostrazione che partendo dalle ipotesi e verificando la definizione di sottospazio bisogna arrivare alla tesi. Beh a questo punto si vede che [tex]2x+3y=0[/tex] è un sottospazio vettoriale.... Eventualmente direi che una base è [tex](-3,2)[/tex] e la [tex]Dim =1[/tex]

[Pirello]

Allego qui di seguito i risultati che mi sono venuti per i primi 2 punti di "Sottospazi vettoriali 1"

Mi piacerebbe trovare qualcun'altro che li abbia svolti per avere un confronto e almeno rimediare se ci fossero errori nei risultati! Ho dei dubbi sull'esercizio 5 e 7 del punto 2..

[Massimo Gobbino]

Magari salva come pdf che è più comodo per tutti.

[Pirello]

Magari salva come pdf che è più comodo per tutti.

Ho risolto.. Ora dovrebbe essere pdf.

[Pirello]

Allego qui di seguito la seconda parte delle soluzioni di "Sottospazi Vettoriali 1"..

Premetto che non ho la minima idea di come si svolga p(5) = p( pi greco) = 0 !