Limiti di funzioni

[mateusz]

Salve a tutti,

sto svolgendo i limiti di funzioni e vi e' un esercizio (sicuramente) semplice che pero' mi sta dando qualche problema...

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{sinx}\right)[/tex]

Un passaggio riesco a svolgerlo ma poi dopo non so come proseguire...

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{sinx}\right)[/tex] = [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(cosx^\left(\frac{x}{sinx}\right)\right)^\frac{1}{x}[/tex]

sinx/x = 1 quindi rimango con

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}cosx^\left(\frac{1}{x}\right)[/tex] da qui in poi non mi viene in mente altro (ho provato anche con il trucco dell'esponenziale ma la cosa si complica ulteriormente)

Grazie e buona Pasqua a tutti!

[GIMUSI]

con i limiti indeterminati del tipo [tex]f(x)^{g(x)}[/tex] è conveniente utilizzare l'esponenziale per ricondursi a casi più semplici

[tex]f(x)^{g(x)}[/tex][tex]= e^{logf(x)^{g(x)}}[/tex][tex]=e^{g(x)logf(x)}}[/tex]

nel caso in esame il limite dovrebbe essere 1

allego qui lo svolgimento

[mateusz]

Ciao Gimusi,

non capisco una cosa pero'

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}e^\frac{ln(\cos x)}{\sin x}[/tex] , [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(\cos x)}{\sin x} = 0[/tex]

Io pero' non conosco ancora Hopital ne' altri teoremi, solo limiti di funzioni notevoli e cambio di variabile.
Questo limite e' sotto la sezione "Limiti notevoli" e immagino che ci sia un modo di risolverlo senza usare Hopital...

La mia domanda e' : come dimostro che [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(\cos x)}{\sin x} = 0[/tex] solo coi limiti notevoli?

Mateusz.

[GIMUSI]

tra l'altro l'hopital è un po' brutale e poco elegante...

allego un possibile svolgimento tramite limite notevoli

[mateusz]

Si cosi' mi e' piu' chiaro grazie! Non ci avevo proprio pensato di elevare il sin al quadrato e moltiplicare per 1/2.

C'e' un'ultima cosa che vorrei chiedere, nella soluzione hai detto che

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 - \sin^2x)}{\sin^2 x} = -1[/tex] ma come si dimostra? Io conosco questo che ci assomiglia come limite notevole... [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 + x)}{x} = 1[/tex] o hai usato sempre Hopital o qualche altro teorema?

Mateusz.

[GIMUSI]

Si cosi' mi e' piu' chiaro grazie! Non ci avevo proprio pensato di elevare il sin al quadrato e moltiplicare per 1/2.

C'e' un'ultima cosa che vorrei chiedere, nella soluzione hai detto che

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 - \sin^2x)}{\sin^2 x} = -1[/tex] ma come si dimostra? Io conosco questo che ci assomiglia come limite notevole... [tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 + x)}{x} = 1[/tex] o hai usato sempre Hopital o qualche altro teorema?

Mateusz.

si ottiene per sostituzione...

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{ln(1 - \sin^2x)}{\sin^2 x}[/tex][tex]=\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{-ln(1 - \sin^2x)}{-\sin^2 x}[/tex][tex]=\displaystyle\lim_{t \to 0}\frac{-ln(1 + t)}{t} = -1[/tex]

[mateusz]

certo, tutto chiaro!