Integrale doppio.

[DaroB94]

L'esercizio in questione è il quart'ultimo a pagina 29 della raccolta Esercizi di analisi 2

sarebbe:

[tex]\displaystyle\int_{0}^{2\pi}dx\int_{0}^{2\pi}(x-y)^2\cos(x+y)\,dy[/tex]

La prima parte che torna [tex]8\pi^2[/tex] mi torna, quella che non mi torna è la 2° parte in cui gli estremi d'integrazione rispetto a y vengono cambiati da [tex][0, 2\pi][/tex] a [tex][\pi, 2\pi][/tex]

A me infatti la soluzione torna 4pigreco*[ycosy - siny], questra tra 0 e 2pigreco torna 4pigreco*[2pigreco-0-0+0] ma tra pigreco e 2pigreco torna 4pigreco*[2pigreco-0+pigreco+0] = 12pigreco invece di 4pigreco come sulla soluzione
(poichè ycosy per y=pigreco fa -pigreco)

Avrò sbagliato qualcosa nei calcoli o da qualche altra parte?

[GIMUSI]

io l'ho fatto integrando per parti il primo

si ottiene:

[tex]4\pi^2 \sin y-4\pi y \sin y + 4\pi \cos y[/tex]

nell'integrazione successiva il primo e terzo termine sono nulli e quindi resta da integrare solo il terzo ottenendo [tex]8\pi^2[/tex]

[DaroB94]

Ma infatti quella parte mi torna, non mi torna il fatto che se si integra rispetto a y tra Pi e 2Pi, invece che tra 0 e 2Pi,
si ottenga 4Pi^2 (mentre a me torne 12Pi^2)

[GIMUSI]

Ma infatti quella parte mi torna, non mi torna il fatto che se si integra rispetto a y tra Pi e 2Pi, invece che tra 0 e 2Pi,
si ottenga 4Pi^2 (mentre a me torne 12Pi^2)

ops scusa non avevo capito quale fosse il problema

come detto prima, fatta l'integrazione (per parti) rispetto a [tex]x[/tex] tra [tex]0[/tex] e [tex]2\pi[/tex] si ottiene:

[tex]4\pi^2 \sin y-4\pi y \sin y + 4\pi \cos y[/tex]

e integrando questa rispetto a [tex]y[/tex] tra [tex]\pi[/tex] e [tex]2\pi[/tex]:

il primo termine dà [tex]-8\pi^2[/tex] il secondo [tex]12\pi^2[/tex] e il terzo termine dà contributo nullo

[volm92]

Buonasera, ho un problema con il seguente integrale:
[tex]\int_0^1\int_0^1ye^{xy} dxdy[/tex]

Ho iniziato ad integrare rispetto ad y, e dopo un integrale per parti sono arrivato alla seguente forma:
[tex]\int_0^1\bigl ( \frac {e^x}{x}-\frac {e^x}{x^2}+\frac {1}{x^2}\bigr)dx[/tex]

Il problema è che non riesco ad integrare in primis [tex]\frac {e^x}{x}[/tex]

Un aiutino? Grazie

[volm92]

Ho risolto integrando prima rispetto ad x e poi rispetto ad y;
Ma come avrei potuto continuare nell'altro modo?

[GIMUSI]

Ho risolto integrando prima rispetto ad x e poi rispetto ad y;
Ma come avrei potuto continuare nell'altro modo?

infatti partendo da x diventa banale...partendo da y vengono fuori funzioni un po' antipatiche e che non si fanno integrare volentieri

usando un po' di integrazione per parti si riesce comunque ad arrivare in fondo...allego lo svolgimento nei due modi