Isometrie dello spazio 2

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.53 “Isometrie dello spazio 2”

segnalo che negli esercizi del punto 2 denominati "e" "t" "v" non sono riuscito ad individuare gli elementi geometrici secondo la classificazione

vi sottopongo inoltre alcuni dubbi:

- nella classificazione con un solo punto fisso della lezione 49 si è parlato solo di rotazione rispetto ad una retta + simmetria rispetto ad un piano ortogonale alla retta; la simmetria centrale è un caso particolare di questa?

- sempre nella lezione 49 è stato illustrato il metodo della ricerca delle matrici di simmetria mediante cambio di base; non riesco a cogliere del tutto il motivo per cui nel caso della simmetria rispetto al piano la base scelta possa anche non essere ortonormale; è forse legato al fatto che la matrice di simmetria oltre che ortogonale è anche è simmetrica?

[EDIT]
qui nel seguito ho postato la soluzione completa dell'esercizio 2.e secondo le indicazioni date dal prof. Gobbino; non ho completato gli esercizi "t" e "v" per i quali si può applicare lo stesso procedimento

[Massimo Gobbino]

Sono rimasto indietro nel seguire le discussioni ...

segnalo che negli esercizi del punto 2 denominati "e" "t" "v" non sono riuscito ad individuare gli elementi geometrici secondo la classificazione

Quando c'è un solo punto fisso (diciamo che sia l'origine) è sempre rotazione rispetto ad una retta + simmetria rispetto al piano *ortogonale* alla retta. Volendo è tutto contenuto in autovalori ed autovettori: la retta è l'autospazio di -1, e l'angolo di rotazione è l'argomento dei 2 autovalori complessi coniugati.

nella classificazione con un solo punto fisso della lezione 49 si è parlato solo di rotazione rispetto ad una retta + simmetria rispetto ad un piano ortogonale alla retta; la simmetria centrale è un caso particolare di questa?

Sì: rotazione di 180 gradi rispetto ad una qualunque retta (diciamo l'asse z) + simmetria rispetto al piano ortogonale (z=0). La particolarità sta nel poter scegliere una qualunque retta, un po' come si potrebbe dire che l'identità è la rotazione di 0 gradi intorno ad una qualunque retta.

sempre nella lezione 49 è stato illustrato il metodo della ricerca delle matrici di simmetria mediante cambio di base; non riesco a cogliere del tutto il motivo per cui nel caso della simmetria rispetto al piano la base scelta possa anche non essere ortonormale; è forse legato al fatto che la matrice di simmetria oltre che ortogonale è anche è simmetrica?

Nel pdf non ne vedo traccia. Penso che intendessi semplicemente dire che basta scegliere una base v1, v2, v3 con v1 e v2 base del piano e v3 ortogonale al piano, e poi determinare l'applicazione lineare tale che manda v1 in v1, v2 in v2, e v3 in -v3. L'unica cosa che serve è che v3 sia ortogonale a v1 e v2, il resto non conta.

[GIMUSI]

Sono rimasto indietro nel seguire le discussioni ...

segnalo che negli esercizi del punto 2 denominati "e" "t" "v" non sono riuscito ad individuare gli elementi geometrici secondo la classificazione

Quando c'è un solo punto fisso (diciamo che sia l'origine) è sempre rotazione rispetto ad una retta + simmetria rispetto al piano *ortogonale* alla retta. Volendo è tutto contenuto in autovalori ed autovettori: la retta è l'autospazio di -1, e l'angolo di rotazione è l'argomento dei 2 autovalori complessi coniugati.

ok sulla classificazione retta + piano ortogonale...mi era chiara...è che non avevo idea sul metodo per determinare la retta e il piano...proverò a risolvero secondo queste indicazioni

nella classificazione con un solo punto fisso della lezione 49 si è parlato solo di rotazione rispetto ad una retta + simmetria rispetto ad un piano ortogonale alla retta; la simmetria centrale è un caso particolare di questa?

Sì: rotazione di 180 gradi rispetto ad una qualunque retta (diciamo l'asse z) + simmetria rispetto al piano ortogonale (z=0). La particolarità sta nel poter scegliere una qualunque retta, un po' come si potrebbe dire che l'identità è la rotazione di 0 gradi intorno ad una qualunque retta.

chiaro

sempre nella lezione 49 è stato illustrato il metodo della ricerca delle matrici di simmetria mediante cambio di base; non riesco a cogliere del tutto il motivo per cui nel caso della simmetria rispetto al piano la base scelta possa anche non essere ortonormale; è forse legato al fatto che la matrice di simmetria oltre che ortogonale è anche è simmetrica?

Nel pdf non ne vedo traccia. Penso che intendessi semplicemente dire che basta scegliere una base v1, v2, v3 con v1 e v2 base del piano e v3 ortogonale al piano, e poi determinare l'applicazione lineare tale che manda v1 in v1, v2 in v2, e v3 in -v3. L'unica cosa che serve è che v3 sia ortogonale a v1 e v2, il resto non conta.

cerco di spiegarmi meglio...nel caso della rotazione rispetto ad una retta la base da impiegare deve essere ortonormale e questo mi torna dato che la matrice da cui si parte è riferita alla base canonica...mentre nel caso della simmetria rispetto ad un piano non risulta indispensabile che la base scelta sia ortonormale...anzi non deve nemmeno essere ortogonale...mi interrogavo sul perché ci fosse questa differenza tra i due casi...ma è un dubbio non essenziale...credo

[Massimo Gobbino]

cerco di spiegarmi meglio...nel caso della rotazione rispetto ad una retta la base da impiegare deve essere ortonormale e questo mi torna dato che la matrice da cui si parte è riferita alla base canonica...mentre nel caso della simmetria rispetto ad un piano non risulta indispensabile che la base scelta sia ortonormale...anzi non deve nemmeno essere ortogonale...mi interrogavo sul perché ci fosse questa differenza tra i due casi...ma è un dubbio non essenziale...credo

Nulla è indispensabile, per ogni applicazione lineare basta sapere dove va una base ed il gioco è fatto. Ora caso per caso uno cerca la base in maniera furba in modo da sapere facilmente determinare dove va a finire. Nel caso della simmetria è comodo prendere vettori che vadano in + o - se stessi, senza troppe complicazioni, dunque volendo la semplicità nasce dall'avere un'autospazio di dimensione 2 sul quale si può giocare. Per la rotazione è più complesso, nel vero senso del termine, perché ci sono 3 autovalori distinti, di cui appunto 2 complessi, e quindi ci sono molti più vincoli sulla base jordanizzante, che alla fine è quella in cui la rotazione assume la sua forma usuale (che poi è quella canonica).

[GIMUSI]

Sono rimasto indietro nel seguire le discussioni ...

segnalo che negli esercizi del punto 2 denominati "e" "t" "v" non sono riuscito ad individuare gli elementi geometrici secondo la classificazione

Quando c'è un solo punto fisso (diciamo che sia l'origine) è sempre rotazione rispetto ad una retta + simmetria rispetto al piano *ortogonale* alla retta. Volendo è tutto contenuto in autovalori ed autovettori: la retta è l'autospazio di -1, e l'angolo di rotazione è l'argomento dei 2 autovalori complessi coniugati.

ho finalmente completato l'esercizio 2.e secondo queste indicazioni ed ora è tutto molto più chiaro...con lo studio degli autovalori si determinano bene la retta,la rotazione ed il piano ortogonale

...la corrispondenza tra l'autospazio relativo all'autovalore -1 e la retta introno alla quale avviene la rotazione è chiaro

...per quanto riguarda la corrispondenza tra la rotazione intorno alla retta e l'argomento degli autovalori complessi e coniugati, se ho capito bene, si spiega col fatto che per una matrice di rotazione gli autovalori complessi sono:

[tex]cos\theta \pm i sen \theta[/tex]

per completare l'esercizio ho anche determinato la scomposizione di [tex]A=SR[/tex] secondo le due matrici:

- [tex]R[/tex] di rotazione intorno alla retta

- [tex]S[/tex] di simmetria attorno al piano ortogonale

posto qui di seguito l'esercizio 2.e completato

[antonio]

Esercizio 2 punto (o) : non mi torna l'espressione data dall'esercizio con la matrice della soluzione.

Mi sfugge qualcosa ?

[GIMUSI]

Esercizio 2 punto (o) : non mi torna l'espressione data dall'esercizio con la matrice della soluzione.

Mi sfugge qualcosa ?

sì certamente hai ragione la matrice associata è

\(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}\)

grazie per la segnalazione