Scritto d'esame 2012

[Nome_utente]

La curva è:
[tex](x(t),y(t))=[(sin(y))^3,(cos(y))^3][/tex]
[tex]0[/tex]<=t<=[tex]2\pi[/tex]
Viene chiesto di scrivere la retta tangente alla curva per [tex]t=\pi/4[/tex] sia in forma parametrica sia in forma cartesiana (implicita).
Applicando le formule ho trovato [tex]x=y[/tex] e [tex][(sqrt2+(3tsqrt2)/4),(sqrt2-(3tsqrt2)/4][/tex]. Fin qui chiedo conferma giusto per sicurezza.
Poi viene chiesta la lunghezza della curva e qui risolvendo l'integrale della formula ottengo [tex]0[/tex], il che mi sembra strano all'inizio. Poi mi sono accorto che la curva negli estremi dati (gli stessi dell'integrale) è chiusa, questo ha dato un senso al risultato trovato. Quindi mi viene da chiedermi se la lunghezza della curva sia [tex]2\pi[/tex] o meno e di come faccio a dimostrarlo.
Infine viene chiesto di calcolare l'integrale seguente sul dominio D che è il dominio racchiuso dalla curva iniziale:
[tex]\[
\int x\,dxdy
\][/tex]
Anche qui trovo che il risultato è [tex]0[/tex], è corretto?

[ghisi]

La curva è:
[tex](x(t),y(t))=[(\sin(y))^3,(\cos(y))^3][/tex]
[tex]0[/tex]<=t<=[tex]2\pi[/tex]
Viene chiesto di scrivere la retta tangente alla curva per [tex]t=\pi/4[/tex] sia in forma parametrica sia in forma cartesiana (implicita).
Applicando le formule ho trovato [tex]x=y[/tex] e [tex][(\sqrt2+(3t\sqrt2)/4),(\sqrt2-(3t\sqrt2)/4][/tex]. Fin qui chiedo conferma giusto per sicurezza.

Dovrebbe essere [tex][(\sqrt2+3t\sqrt2)/4),(\sqrt2-3t\sqrt2)/4][/tex]. La cosa strana è che le rette in forma parametrica e cartesiana sono diverse. Controlla!

Poi viene chiesta la lunghezza della curva e qui risolvendo l'integrale della formula ottengo [tex]0[/tex], il che mi sembra strano all'inizio. Poi mi sono accorto che la curva negli estremi dati (gli stessi dell'integrale) è chiusa, questo ha dato un senso al risultato trovato. Quindi mi viene da chiedermi se la lunghezza della curva sia [tex]2\pi[/tex] o meno e di come faccio a dimostrarlo.

Una lunghezza zero è sempre assurda. L'errore nella risoluzione è uno dei soliti da precorso, del tipo [tex]\sqrt{x^2} = x[/tex]

Infine viene chiesto di calcolare l'integrale seguente sul dominio D che è il dominio racchiuso dalla curva iniziale:
[tex]\[
\int x\,dxdy
\][/tex]
Anche qui trovo che il risultato è [tex]0[/tex], è corretto?

Questo si

[Nome_utente]

Dovrebbe essere [tex][(\sqrt2+3t\sqrt2)/4),(\sqrt2-3t\sqrt2)/4][/tex]. La cosa strana è che le rette in forma parametrica e cartesiana sono diverse. Controlla!

Ho ricontrollato e avevo fatto banali errori di calcolo... Ora torna tutto

[Nome_utente]

Una lunghezza zero è sempre assurda. L'errore nella risoluzione è uno dei soliti da precorso, del tipo [tex]\sqrt{x^2} = x[/tex]

L'errore era proprio quello... aprendo il valore assoluto il dominio si divide in 4 pezzi, 2 dove la funzione è positiva (segni concordi) e due dove è negativa (segni discordi), ognuno dei quali viene [tex]3/2[/tex]. Alla fine quindi la lunghezza della curva è [tex]6[/tex]

[ghisi]

Alla fine quindi la lunghezza della curva è [tex]6[/tex]

si.