Generatori e Span

[Angelica27]

Prof, ho un dubbio!
Negli esercizi di Generatori e Span, quando controllo che i vettori dati siano linearmente indipendenti, a volte è capitato che venisse (per esempio) a = - c e b = c e d = 0. Quindi i vettori sono linearmente dipendenti e posso scrivere, prendendo ad esempio c = 1, - v1 + v2 + v3 = 0, cioè v1 = v2 + v3. Quindi v4, essendo d = 0, non viene contemplato. Ma nel momento in cui io vado a togliere un po' di vettori in modo che mi rimanga una base e a calcolare la dimensione dello Span, tolgo v1... e anche v4? O non c'entra nulla che sia venuto d = 0? Mi spiego meglio: quando vado a ricontrollare la lineare indipendenza per i vettori rimasti, oltre a v2 e v3, devo includere anche v4? Cioè (ancora "meglio"), se verifico che v2 e v3 sono linearmente indipendenti, dim Span {v2, v3} = 2? O dovevo calcolarla comprendendo anche v4?
Spero di essermi spiegata; in caso contrario, mi scuso
Grazie in anticipo, comunque

[GIMUSI]

credo che v4 non possa essere escluso a priori, a meno che i v non siano in R2

[Massimo Gobbino]

Penso che Angelica27 si riferisca all'ultimo esercizio di Generatori e Span 1, e forse a quell'esempio specifico bisognerebbe orientare la risposta.

[e.rapuano]

Io avevo pensato che il quarto vettore, avendo coefficiente nullo, fosse l'unico non eliminabile mentre ognuno dei restanti poteva essere sostituito con una combinazione lineare degli altri 2...quindi io ho dato come soluzione: dim Span = 3 e poi ho detto che gli eliminabili sono o v1 o v2 o v3...è giusto?

[GIMUSI]

Io avevo pensato che il quarto vettore, avendo coefficiente nullo, fosse l'unico non eliminabile mentre ognuno dei restanti poteva essere sostituito con una combinazione lineare degli altri 2...quindi io ho dato come soluzione: dim Span = 3 e poi ho detto che gli eliminabili sono o v1 o v2 o v3...è giusto?

io ho ragionato in questo modo:

ovviamente trattandosi di 4 vettori in R^3 essi sono linearmente dipendenti

ora, mettendo a sistema i 4 vettori x*v1+y*v2+z*v3+u*v4 = 0 si ottiene come detto: u=0 e v1 = v2 + v3, questo significa che:
- v4 non è combinazione lineare degli altri tre vettori (è un fatto generalizzabile? direi di sì)
- v1, v2 e v3 sono linearmente dipendenti

ora mi viene da pensare che la dim Span di v1, v2 e v3 potrebbe essere in generale anche 1 (vettori allineati); per dire che lo dim Span = 2 devo metterne due a sistema e verificare che siano linearmente indipendenti; in questo caso è proprio così

a questo punto la mia conclusione coincide con la tua: dim Span=3 con v1 o v2 o v3 eliminabili

PS
alla stessa conclusione si arriva immediatamente osservando che il rango della matrice dei 4 vettori "gaussizzata" è proprio 3

[Massimo Gobbino]

In questo thread sono state detto cose giuste, ma in maniera piuttosto imprecisa. Le conclusioni sono quelle di e.rapuano: la dimensione dello Span è 3 e si possono eliminare tutti tranne v4. Per verificarlo basta mettere i vettori in una matrice (come righe o come colonne?) e fare il rango, alla Gauss o come D-rango. Per sapere, ed avere la certezza, che un certo vettore può essere eliminato, basta e bisogna accertarsi che il rango della matrice in cui è stato eliminato sia ancora 3, il che si può fare ancora alla Gauss o con il D-rango. Tuttavia, se si è fatta bene la fase precedente, questo è quasi automatico. Perché?

[GIMUSI]

In questo thread sono state detto cose giuste, ma in maniera piuttosto imprecisa. Le conclusioni sono quelle di e.rapuano: la dimensione dello Span è 3 e si possono eliminare tutti tranne v4. Per verificarlo basta mettere i vettori in una matrice (come righe o come colonne?) e fare il rango, alla Gauss o come D-rango. Per sapere, ed avere la certezza, che un certo vettore può essere eliminato, basta e bisogna accertarsi che il rango della matrice in cui è stato eliminato sia ancora 3, il che si può fare ancora alla Gauss o con il D-rango. Tuttavia, se si è fatta bene la fase precedente, questo è quasi automatico. Perché?

mi verrebbe da dire che:

- per il calcolo del rango mettere i vettori per riga o per colonna non dovrebbe fare differenza [ visto che det(A) = det(A-trasposta)]

- però mettendoli per colonna e "gaussizzando" si possono individuare quelli certamente indipendenti (dai pivot) e quelli che si possono eliminare

[Massimo Gobbino]

per il calcolo del rango mettere i vettori per riga o per colonna non dovrebbe fare differenza [ visto che det(A) = det(A-trasposta)]

Esatto

però mettendoli per colonna e "gaussizzando" si possono individuare quelli certamente indipendenti (dai pivot)

esatto

e quelli che si possono eliminare

Ni Supponiamo di avere 5 vettori in dimensione 4, di averli messi in colonna e poi gaussizzato, e di ritrovarci in questa situazione (ovviamente quella scritta è la situazione finale, all'inizio le colonne erano diverse)

[tex]\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 3 & 4 & 6 \\
0 & 1 & 1 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{array}[/tex]

Chi possiamo eliminare dei vettori originari?

[GIMUSI]

e quelli che si possono eliminare

Ni Supponiamo di avere 5 vettori in dimensione 4, di averli messi in colonna e poi gaussizzato, e di ritrovarci in questa situazione (ovviamente quella scritta è la situazione finale, all'inizio le colonne erano diverse)

[tex]\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 3 & 4 & 6 \\
0 & 1 & 1 & 2 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{array}[/tex]

Chi possiamo eliminare dei vettori originari?

certo non sono individuabili immediatamente...intendevo dire che ragionando un po' sulla matrice a scala i vettori eliminabili si individuano abbastanza bene; per questa ad esempio mi pare che:

- guardando i pivot sono sicuramente lin.ind. sia il 1°2°4°5° sia il 1°3°4°5°, quindi il 2° o il 3° sono eliminabili

- il 5° non è eliminabile perché altrimenti rimarrebbe la riga R4 nulla;

- restano da considerare il 4° e il 1° per ciascuno dei quali si deve effettuare un altro passo gauss sul minore 4x4 ottenuto eliminadoli

- si vede subito che il 4° non è eliminabile (facendo R4-R3 si annulla l'ultima riga) mentre il 1° lo è (R2-R1 lascia 4 pivot)

lo ritiene un modo corretto di procedere

[Massimo Gobbino]

Sì, direi che è corretto. Il succo è che Gauss fornisce immediatamente un po' di vettori che vanno bene (quelli con i pivot), ma non esclude immediatamente gli altri. In questo esempio si poteva dire subito che il quarto ed il quinto devono sopravvivere entrambi, perché altrimenti le ultime due righe avrebbero avuto al più un pivot, il che non è buono. Per vedere poi che dei primi 3 si poteva eliminare uno qualunque bisogna fare qualcosa in più, come nella tua soluzione.

Aggiungo che facendo gli esercizi di Generatori e Span 1 e 2 la cosa dovrebbe chiarirsi ampiamente, specie nelle situazioni in cui i vettori da eliminare sono 2. Un motivo in più per farli .

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test 22 "Generatori e Span 1"

[e.rapuano]

allego le soluzioni del test 22 "Generatori e Span 1"

non riesco a vedere i tuoi allegati gimusi... :/

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test 22 "Generatori e Span 1"

non riesco a vedere i tuoi allegati gimusi... :/

lo ricarico qui in pdf

[e.rapuano]

Mi trovo tutto

[GIMUSI]

Mi trovo tutto

bene