Esercizi Rette nel Piano 3

[ferdinando]

Qualcuno che ha fatto gli esercizi di rette nel piano 3, potrebbe postare le soluzioni e il procedimento con cui ha risolto uno degli esercizi ?
Grazie in anticipo

[Alessio]

Uso come esempio la prima retta e il primo punto dell'esercizio.
y = 2x (Xo;Yo) = (1;1)

Per essere parallele due rette devono avere lo stesso coefficiente angolare quindi m1 = m2
y = mx + n y = 2x + n
Poi devi imporre alla retta di passare per (1;1) quindi sostituisci (1;1) a (x;y)
y = 2x +n 1 = 2*1 + n
Ricavi n
n = -1
Quindi la retta parallela a y = 2x e passante per (1;1) è
y = 2x - 1

Per essere perpendicolari due rette i loro coefficienti angolari devono rispettare la seguente relazione
m2 = - 1/m1
Quindi
y = m2*x + n y = -1/2 + n
Poi devi imporre alla retta di passare per (1;1) quindi sostituisci (1;1) a (x;y)
y = -1/2*x +n 1 = -1/2*1 + n
Ricavi n
n = 3/2
Quindi la retta perpendicolare a y = 2x e passante per (1;1) è
y = -1/2*x + 3/2

Per la retta perpendicolare a y = 2x e passante per l'Orgine (0;0) devi ripetere gli stessi passaggi
eseguiti per la retta perpendicolare e passante per (1;1) , ma stavolta devi imporre alla retta di passare per (0;0)

Se qualcosa non ti è chiaro oppure noti qualcosa di sbagliato nel mio metodo di risoluzione puoi consultare la seguente pagina
http://users.dma.unipi.it/~gobbino/Tabl ... 8_08-1.pdf

Spero di esserti stato di aiuto.
Ti sarei molto grato se mi spiegassi come svolgere la seconda parte gli esercizi Rette nel piano 1.

Grazie ancora, Alessio.

[ferdinando]

Ciao grazie della risposta.
ti spiego come trovo i parametri della retta utilizzando un esempio.
la retta cartesiana è x-y+3 e la parametrica è (a+bt,2-5t).
riporto la parametrica alla seguente forma (a;2)+t(b;-5) : il punto (a;2) passa per la retta indicata quindi inserisco il punto nella cartesiana : (a)-(2)+3=0 ---- a = -1. Poi so che il coefficente della retta cartesiana (m=1) non è altro che -5/b ( che non è altro che la tengente del vettore se non sbaglio) quindi scrivo (-5/b)=1 e b = -5
spero di esserti stato d'aiuto

[e.rapuano]

Io ho trovato più difficili gli esercizi della seconda parte di "rette nel piano 3"...
per trovare le rette che formano angolo "theta" col semiasse positivo delle x o con la retta data, faccio bene a ragionare semplicemente sui vettori velocità e poi porre la condizione di passaggio per (x0,y0)? i conti sembrano tornare, ma i risultati sono un pò brutti...
c'è qualcuno di voi che ha fatto questi esercizi affinchè confrontiamo i risultati?
per esempio...al secondo esercizio di questa seconda parte...ho la retta x+2y=7 e il punto (x0=1,y0=0) e theta=45°.
mi escono r1: y=x+1
r2: y=(3/(2+sqrt13))*(x-1)
sqrt è la radice quadrata...scusate le tante parentesi ma avevo detto che era brutto! XD

[Massimo Gobbino]

Io ho trovato più difficili gli esercizi della seconda parte di "rette nel piano 3"...

ed in effetti lo sono: in fondo è l'ultimo esercizio sulle rette.

per trovare le rette che formano angolo "theta" col semiasse positivo delle x o con la retta data, faccio bene a ragionare semplicemente sui vettori velocità e poi porre la condizione di passaggio per (x0,y0)? i conti sembrano tornare, ma i risultati sono un pò brutti...

Quando si tratta di angoli, i risultati in qualche modo contengono seni e coseni di quegli angoli, quindi qualche radice è inevitabile.

al secondo esercizio di questa seconda parte...ho la retta x+2y=7 e il punto (x0=1,y0=0) e theta=45°.
mi escono r1: y=x+1

Uhm, non passa per il punto ...

r2: y=(3/(2+sqrt13))*(x-1)
sqrt è la radice quadrata...scusate le tante parentesi ma avevo detto che era brutto! XD

Le rette che passano per (1,0) e formano un angolo di 45 gradi con la retta data sono due ... per questo si richiede r2 ed r3.

[e.rapuano]

si, in effetti r1 dovrebbe essere y=x-1...
r3 esce simile a r2 ma con un "meno" al posto di un "più...ma è comunque un risultato accettabile?

[Massimo Gobbino]

Uhm, un possibile vettore velocità per la retta data è [tex]v_1=(-2,1)[/tex].

Un possibile vettore velocità per la tua r2 è [tex]v_2=\left(1,\frac{3}{2+\sqrt{13}}\right)[/tex].

Ora, se tu avessi ragione, il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori, dedotto dalla solita formula per il prodotto scalare

[tex]\langle v_1,v_2\rangle=\|v_1\|\cdot\|v_2\|\cdot\cos\theta[/tex]

dovrebbe venire [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Ora io non sono stato a fare i calcoli, ma mi sembra strano che quella radice di 13 se ne vada magicamente.

Btw, a me le rette r2 ed r3 vengono [tex]y=-3x+3[/tex] e [tex]y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}[/tex] Per vedere se ho ragione prova a calcolare quale angolo formano con la retta data.

[Edit: corretto dopo la segnalazione di Roland]

[Angelica27]

Mi perdoni professore, ma io proprio non ho capito come svolgere questo esercizio. Riesco a calcolare tranquillamente la retta che forma l'angolo teta col semiasse delle x, ma la seconda parte proprio mi sfugge. Come faccio a trovare le due rette dato l'angolo che formano?

[Massimo Gobbino]

Consideriamo l'esempio dal quale siamo partiti. Ci è stata data una retta che ha come vettore direzione, tra i tanti possibili, il vettore [tex]v_1=(-2,1)[/tex].

Il vettore direzione di r2 ed r3 deve formare un certo angolo con [tex]v_1[/tex]. Siano quindi a e b le componenti dei vettori direzione che stiamo cercando. Si tratta di imporre, usando la solita formula, che

[tex]-2a+b=\sqrt{5}\cdot\sqrt{a^2+b^2}\cdot\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)[/tex]

dove il +- è dovuto al fatto che va bene sia l'angolo di 45 che quello di 135 ...

Si tratta ora di risolvere questa equazione. Facendo i quadrati e raccogliendo un po' di roba si arriva a

[tex]3a^2-8ab-3b^2=0[/tex]

Ora forse conviene ricordare che, in fondo, quello che ci interessa è il coefficiente angolare, cioè m=b/a. Dividendo tutto per [tex]a^2[/tex] e cambiando segno troviamo quindi

[tex]3m^2+8m-3=0[/tex]

da cui i due possibili valori di m (-3 e 1/3).

[Edit: corretto dopo la segnalazione di Roland]

[Angelica27]

Ma come vettore v1, io prendo quello che ovviamente passa per il punto (x0; y0) che mi viene dato? Per esempio, nel primo esercizio, io prendo il vettore (-1;0)? O ho appena detto una castroneria?

[Massimo Gobbino]

La seconda ...

Quello che ho chiamato v1 è il vettore direzione (o velocità) della retta data, cioè il vettore v che compare quando si scrive la retta in forma parametrica [tex]P_0+tv[/tex]. Per questo gli esercizi di passaggio da una forma all'altra vengono prima. Sarebbe poi sempre meglio dire "uno dei vettori direzione", perché se un vettore va bene, allora vanno bene anche tutti i suoi multipli.

Nei primi 4 esercizi (della parte che stiamo discutendo), possibili vettori direzione sono (1,-1), (-2,1), (0,1), (1,-2). Chi scrive gli altri 5?

[Roland]

Gli altri vettori potrebbero essere : (3,4) (-1,3) (-1,3) (2,-1) (2,1)

[Massimo Gobbino]

Gli altri vettori potrebbero essere : (3,4) (-1,3) (-1,3) (2,-1) (2,1)

Chi scrive le equazioni di r1, r2, r3 nel primo esercizio?

[Roland]

Se i conti non mi tradiscono le equazioni sono:
r1: y=x+1
r2: x=-1
r3: y=0

ma nell'esercizio 2 la retta r2 non dovrebbe essere y=-3x+3 ? , anche perche' m' x m = -1 (le rette sono perpendicolari)

[Massimo Gobbino]

ma nell'esercizio 2 la retta r2 non dovrebbe essere y=-3x+3 ?

Giustissimo ho corretto i post precedenti