Integrazione per parti

[Meringolo]

Quando il Prof. Gobbino spiega l'integrazione per parti, in un certo senso mette già in guardia chi usa la formula "abusiva", ossia quella un pò più rapida e senza estremi di integrazione, dicendo che a volte può non andare bene.

Ed infatti al termine della lezione 76, c'è questo integrale

[tex]$\int \tan(x)\, dx$[/tex]

Qua la formula della sostituzione va bene, ma quella "per parti" porta ad un assurdo, cioè ad un "grande ritorno" con segno +, il che significa

[tex]0=-1[/tex]

L'unico problema sembra essere trascurare gli estremi, infatti se fossero invertiti sarebbe a posto. é l'unica ragione che mi sono fatto

[Meringolo]

Integrando [tex]tan(x)[/tex] per parti ho:


[tex]\int \tan (x)\ dx[/tex] =[tex]\int sinx \frac{1}{cosx} dx[/tex]

=[tex][(-cosx) \frac{1}{cosx}] - \int (-cosx) (-\frac{-sinx}{cos^2x}) dx[/tex]

Ora
[tex](-cosx) \frac{1}{cosx} = -1[/tex]

Mentre nell'integrale

[tex]- \int (-cosx) (-\frac{-sinx}{cos^2x}) dx[/tex]

semplifico [tex](-cosx)[/tex] con [tex]cos^2x[/tex] del denominatore e mi rimane


[tex]- \int (\frac{-sinx}{cosx}) dx[/tex]

cioè

[tex]- \int -tan(x) dx[/tex]

con un "grande ritorno" a segno positivo, il che non è cosa buona.

Ho dei dubbi sulla semplificazione [tex](-cosx)[/tex] con [tex]cos^2x[/tex], in quanto non conosco il segno di [tex]cosx[/tex] ma quello al denominatore è sempre positivo essendo al quadrato.

Non so se il Prof. Gobbino ne aveva più parlato dopo quella (video)lezione e mi scuso se l'avesse già fatto e mi sono perso qualcosa.

So che alla base c'è un errore banale ma proprio per questo vorrei non commetterlo in altre occasioni ( e soprattutto vorrei sapere qual'è )

OSS. Anche se il segno venisse positivo, il risultato sarebbe in conflitto con lo stesso integrale calcolato per sostituzione.

Grazie

[GIMUSI]

il motivo credo sia da ricercare nel fatto che l'integrale indefinito rappresenta tutte le infinite primitive le quali differiscono tra loro per una costante

quindi, trascurando gli estremi, non è assurdo ottenere eguaglianze del tipo

[tex]\int \tan(x)dx[/tex] = [tex]\int \tan(x)dx+c[/tex]

quando si passa all'integrale definito il termine costante scompare

[Massimo Gobbino]

La spiegazione sostanzialmente è quella.

Volendo semplificare ulteriormente il discorso, le cose stano così: la formula di integrazione per parti *ufficiale*, quella che viene dimostrata a lezione, è quella con gli estremi (cioè per gli integrali definiti). Mettendo gli estremi, nell'esempio fatto con la tangente non c'è nessuna contraddizione, in quanto la costante ottenuta al secondo membro sparisce.

Fa formula di integrazione per parti senza estremi (quella che io a lezione chiamo *abusiva*) semplicemente non vale, in quanto produce paradossi come quello della tangente.

Detto così è molto drastico, ed infatti si può dire (come giustamente ricorda GIMUSI) che la formula *abusiva* vale a patto di interpretare l'integrale indefinito come "insieme di tutte le primitive". Formalmente questo pone un po' di problemi, come per esempio il fatto che a quel punto la formula non è più un'uguaglianza tra funzioni, ma tra insiemi di funzioni, ed è il motivo per cui a lezione mi tengo (e tengo l'uditorio) alla larga da questo formalismo, che in fondo ha scarso impatto operativo.

Un'altra complicazione è che in generale non è vero che tutte le primitive differiscono per una costante, come spiegato tutti gli anni nelle lezioni sul famigerato +c.

[GIMUSI]

Un'altra complicazione è che in generale non è vero che tutte le primitive differiscono per una costante, come spiegato tutti gli anni nelle lezioni sul famigerato +c.

sono andato a rivedere l'esempio della lezione n.71 2011/2012 relativa al caso della/e primitiva/e di [tex]1/x[/tex]

e affermare che "tutte le primitive su un intervallo differiscono per una costante" è vero in generale? o anche in questo caso ci sono delle eccezioni?

[Massimo Gobbino]

e affermare che "tutte le primitive su un intervallo differiscono per una costante" è vero in generale?

Certo, è vero, e in qualche anno l'ho detto di sicuro. Costanti diverse possono apparire solo su pezzi diversi. La dimostrazione è una facile applicazione di Lagrange.