integrale improprio dello scritto 2002_2 es n°3

[Marck]

itegr tra -oo e+oo di
(x-sin x)
----------
x^3

....negli aiutini dice :
Mostrare che non ci sono problemi in 0.?????
All'infinito confronto asintotico...
[con x^3???? ]

in pratica chiedo che qualcuno lo risolva...Grazie.

[Noisemaker]

itegr tra -oo e+oo di
(x-sin x)
----------
x^3

[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}[/tex]

....negli aiutini dice :
Mostrare che non ci sono problemi in 0.?????
All'infinito confronto asintotico...
[con x^3???? ]

in pratica chiedo che qualcuno lo risolva...Grazie.

Anzitutto osserviamo che

[tex]\displaystyle f(-x)= \frac{-x-\sin(- x)}{(-x)^3}= -\frac{-x+\sin x}{ x ^3}= \frac{x-\sin x}{ x ^3}=f(x)[/tex]

la funzione è dunque pari, quindi conviene limitare lo studio dell'integrale all'intervallo [tex](0,+\infty),[/tex] cioè:

[tex]\displaystyle 2\int_{0}^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}[/tex]

La funzione integranda non è definita in [tex]x=0[/tex] in quanto si annulla il denominatore; tuttavia, si osserva che

[tex]\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\bf(T)}{=}\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{x-x+\frac{x^3}{3!}}{x^3}=\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{x^3}{3! x^3}=\frac{1}{6}[/tex]

[tex]\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x\to+\infty}\frac {1}{x }-\frac{\sin x}{x}= 0-0=0[/tex]

la funzione integranda è prolungabile per continuita in [tex]x=0:[/tex]

[tex]\displaystyle f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}, & \mbox{se }x\not=0 \\ \displaystyle \frac{1}{6}, & \mbox{se }x=0
\end{cases}[/tex]

e dunque risulta continua in [tex]x=0;[/tex] inoltre, in [tex][0,+\infty)[/tex] la funzione risulta sempre positiva in quanto

[tex]\displaystyle\frac{x-\sin x}{x^3} >0 \quad \to \quad x-\sin x>0\quad \to \quad[/tex] [tex]\displaystyle \sin x<x \quad \to \quad \forall x\in\mathbb{R^+}[/tex]

allora possiamo considerare il comportamento asintotico quando [tex]x\to +\infty[/tex] (in zero non è necessario in quanto la funzione è continua e dunque certamente integrabile)

[tex]\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}\le\frac{x-1}{x^3} \stackrel{\bf(+\infty)}{\sim}\frac{1}{x^2} \to\mbox {converge }[/tex]

L' integrale risulta quindi convergente.

[Massimo Gobbino]

Ok