Serie 4, seconda colonna, es 5 e 8

[catarsiaffa]

Ciao a tutti! Qualcuno può aiutarmi con queste due serie?:)

sommatoria per n che va da 1 a oo di : (2+ cos(n))/n

sommatoria per n che va da 1 a oo di : (-1)^n * {(3*sqrt(n) + cos(pigreco*n))/ n }

Grazie in anticipo ai volenterosi!:)

[Noisemaker]

Ciao!

allora proviamo:

- [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2+\cos n}{n}[/tex]
[tex][/tex]
Anzitutto si osserva che la serie è a termini positivi : infatti si ha che [tex]2+\cos n>0, \forall n\in\mathbb{N};[/tex] inoltre, ricordando che [tex]|\cos n |\le1,[/tex] il termine generale della serie diventa:

[tex]\displaystyle \left|\frac{2+\cos n}{n}\right|\le\frac{\left|2+\cos n\right|}{n}\le\frac{2+\left|\cos n\right|}{n} \le\frac{3}{n}<\frac{1}{n}\to \text{diverge}[/tex]

possiamo quindi concludere che la serie diverge per confronto con la serie armonica semplice;

- [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \left(\frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\right)[/tex]

Anzitutto si osserva che la serie è a segni alterni; studiando la convegrnza assoluta del termine generale si ha:

[tex]\displaystyle\left|(-1)^n \left(\frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\right)\right|=\left| \left(\frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\right)\right|\le \frac{\left|3\sqrt n+\cos \pi n\right|}{n}[/tex] [tex]\displaystyle\le\frac{3\sqrt n+\left|\cos \pi n\right|}{n}\le\frac{3\sqrt n+1}{n}\sim\frac{3\sqrt n }{n}=\frac{ 1}{\sqrt n}\to \text{diverge}[/tex]

la serie risulta assolutamente divergente; per vedere se c'è almeno convergenza semplice vediamo se sono verificate le ipotesi del criterio di Leibniz: si ha

[tex]\displaystyle a_n=\frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\to 0[/tex] infatti: [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_n=\lim_{n \to +\infty} \frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\sim\frac{1}{\sqrt n }=0[/tex]

per verificare la decrescenza di [tex]a_n,[/tex] dobbiamo verificare che [tex]a_n\ge a_{n+1}[/tex], cioè:

[tex]\displaystyle \frac{3\sqrt n+\cos \pi n}{n}\ge \frac{3\sqrt {n+1}+\cos [\pi (n+1)]}{n+1}[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{3\sqrt n }{n}+\frac{ \cos \pi n}{n}\ge \frac{3\sqrt {n+1} }{n+1}+ \frac{ \cos [\pi (n+1)]}{n+1}[/tex]

[tex]\displaystyle\frac{3\sqrt {n+1} }{n+1}+ \frac{1}{n+1}\le\frac{3\sqrt n }{n}+\frac{ 1}{n}[/tex]

essendo

[tex]\displaystyle \frac{1}{n+1}\le \frac{ 1}{n} \to n+1\ge \forall n\in \mathbb{N}[/tex]

e

[tex]\displaystyle \frac{3\sqrt {n+1} }{n+1} \le\frac{3\sqrt n }{n} \to \frac{1 }{\sqrt {n+1}} \le\frac{1 }{\sqrt {n }} \to \sqrt {n+1}\ge\sqrt {n } , \forall n\in \mathbb{N}[/tex]

la disuguaglianza è verificata e dunque la successione risulta decrescente; allora per Leibnitz si conclude che la serie converge.

Conludendo la serie converge semplicemente ma non assolutamente

[Massimo Gobbino]

[tex]\displaystyle \frac{3}{n}<\frac{1}{n}[/tex]

Ehm

E poi, ancora più importante, il fatto che il termine generale di una serie sia minore del termine generale di una serie divergente non autorizza a concludere nulla (questo vale per entrambe le soluzioni).

[Noisemaker]

[tex]\displaystyle \frac{3}{n}<\frac{1}{n}[/tex]

Ehm

E poi, ancora più importante, il fatto che il termine generale di una serie sia minore del termine generale di una serie divergente non autorizza a concludere nulla (questo vale per entrambe le soluzioni).

si questo è brutto....

in realtà correttamente dovrebbe essere:

[tex]\displaystyle \frac{2+\cos n}{n}[/tex] essendo [tex]|\cos n|\le1[/tex] si ha che [tex]-1\le\cos n\le1 \to 1\le2+\cos n\le 3\to \displaystyle \frac{1}{n}\le\frac{2+\cos n}{n}\le\frac{3}{n}[/tex]

pei i carabinieri si conclude!


Per il secondo in realtà non ho detto nulla, anzi avendo trovato che la serie diverge positivamente, nulla ho concluso e ho applicato il criterio di Leibniz per vedere se almeno c'è convergenza semplice....

[Massimo Gobbino]

Occhio che un Carabinieri per serie non esiste (o meglio esiste, ma è poco noto ...). Qui in realtà basta un confronto a 2, usando solo la stima dal basso

[tex]\displaystyle\frac{2+\cos n}{n}\geq\frac{1}{n}[/tex]

Per quanto riguarda il secondo esercizio, in effetti non c'è ancora nulla di dimostrato, né riguardo alla convergenza assoluta, né riguardo alla convergenza e basta.

[CoTareg]

Per la seconda, si potrebbe "dividere il problema".
Diventa (-1)^n*3/(sqrt(n)) +1/n, dato che cos(pi*n) è uguale a (-1)^n.
La serie del primo termine converge per Leibniz, la serie del secondo diverge a +00. La somma delle due, quindi, diverge a +00.
Forse troppo brutale, ma mi pare funzioni.

[Massimo Gobbino]

Forse troppo brutale, ma mi pare funzioni.

Perfetto! E incredibile averti ancora su questo forum, e per giunta in pieno agosto. Grazie davvero! Ti manca solo un tocco di LaTeX ... per poter scrivere

Diventa [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{3}{\sqrt{n}} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex], dato che [tex]\cos(\pi n)=(-1)^n[/tex]