Limiti 9, seconda colonna, ultimo esercizio

[catarsiaffa]

Tutti gli altri limiti 9 mi sono riusciti utilizzando gli Sviluppi di Taylor, soltanto questo mi ha dato dei problemi:

lim x->0 (sin(sinh x) - sinh (sin x) )/x^7

[CoTareg]

Sviluppa fino all'ordine 7 tutti i termini, facendo attenzione ai tripli prodotti nei cubi. Qui il problema è che ci si mette un attimo a sbagliare un segno e mandare tutto a rotoli......

[catarsiaffa]

E' quello che avevo fatto, ma continua a non tornarmi...Allora mi è venuto un dubbio, provo a spiegartelo...
Sviluppo di sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! + o(x^7)
Sviluppo di sinh x = x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + o(x^7)

Dato che ho da sviluppare sin (sinh x) e sinh (sin x), cosa faccio? Scrivo inizialmente:

sin (sinh x) = sinhx - (sinhx)^3/3! + (sinhx)^5/5! - (sinhx)^7/7!

sinh (sin x) = (sin x) + (sin x)^3/3! + (sin x)^5/5! + (sin x)^7/7!

Fin qui ci sono, poi quando vado a sostituire dentro le potenze gli sviluppi di sinx e sinhx, devo sostituirvi gli sviluppi dell'ordine fino a 7, o posso "ridurre" considerando che poi con la potenza (^3, ^5, ^7) l'ordine aumenterà e quindi posso trascurare i termini che so già diventeranno di grado superiore al settimo?
Questo è il dubbio, spero di essermi spiegata bene...
Ad esempio, quando uso lo sviluppino di sinhx inserendolo in (sinh x)^3, devo scrivere (x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + o(x^7) )^3 o posso limitarmi a (x + x^3/3!) ^3, dato che comunque gli altri termini arriverebbero ad un grado superiore a quello da me stabilito?

[Massimo Gobbino]

Ad esempio, quando uso lo sviluppino di sinhx inserendolo in (sinh x)^3, devo scrivere (x + x^3/3! + x^5/5! + x^7/7! + o(x^7) )^3 o posso limitarmi a (x + x^3/3!) ^3, dato che comunque gli altri termini arriverebbero ad un grado superiore a quello da me stabilito?

Non puoi limitarti come dici tu, perché nello sviluppo del cubo c'è un termine di grado 7 che arriva dal fare il triplo prodotto tra il quadrato di x ed il termine con x^5. Se non sei sicura con la terza potenza, e a maggior ragione con la quinta potenza ... , procedi per gradi facendo prima il quadrato e così via.

Mi pare tra l'altro che lo stesso esercizio sia già stato discusso in qualche thread qualche anno fa.

[catarsiaffa]

La ringrazio, io prima di scrivere qui cerco di trovare la risposta riguardando le lezioni e leggendo i vecchi post, ma a volte purtroppo qualcosa mi sfugge...