Visto il successo raggiunto da pesce d'Arno con la lattina, è ora di passare al problema dei tre cilindri. Si tratta di considerare nello spazio l'intersezione tra i 3 cilindri infiniti aventi raggio 1 e come asse l'asse x, y, z, rispettivamente.
La prima domanda è la seguente: quante "facce" ha tale intersezione? Il concetto di faccia è piuttosto intuitivo: ad esempio un quarto di sfera ha 3 facce, 2 piane ed una curva.
La seconda domanda è: qual è il volume dell'intersezione?
I 3 cilindri
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Massimo Gobbino
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Il problema si risolve anche senza ricorrere ad integrali in senso stretto: tutto ciò che occorre sapere è il principio di Cavalieri e la formula del volume del segmento di sfera ad una base.
Anzitutto, le facce di quel solido sono 12. Per vederlo, si consideri il cubo di spigolo lungo sqrt(2) (radice quadrata di 2) centrato nell'origine, ed avente gli spigoli paralleli agli assi. E' chiaro che questo cubo è inscritto nel nostro solido. Inoltre, ogni spigolo del cubo appartiene ad una faccia del solido, e la taglia a metà. Quindi il solido può essere visto come l'unione del cubo e di 6 "volte a crociera", una per ogni faccia. Ogni volta a crociera si ottiene intersecando 2 soli cilindri. Il solido ha 14 vertici, uno per ogni vertice ed ogni faccia del cubo. Le facce sono "rombi curvi" tutti uguali tra loro. In ogni vertice corrispondente ad un vertice del cubo concorrono 3 facce, mentre in ogni vertice corrispondente ad una faccia del cubo concorrono 4 facce.
Ora che abbiamo capito com'è fatto il solido intersezione, possiamo agevolmente calcolarne la superficie. Infatti, esattamente 4 sue facce appartengono alla superficie di uno dei cilindri generatori, e la loro unione misura esattamente la metà della superficie laterale di un cilindro di raggio 1 e altezza sqrt(2). Quindi la superficie è 3*2*pigreco*sqrt(2)/2 = 3*sqrt(2)*pigreco.
Il volume si ottiene invece sommando al volume del cubo il volume delle 6 volte a crociera. Per trovare il volume di una volta a crociera, si consideri la sfera di raggio 1 centrata nell'origine. Anche la sfera è inscritta nel solido, ed è tangente ad ogni faccia della volta a crociera. Quindi, ogni sezione della volta a crociera parallela alla base, è un quadrato circoscritto al cerchio che è sezione della sfera. Dunque, per il principio di Cavalieri, il rapporto tra il volume della volta a crociera e quello del segmento sferico in essa inscritto è pari al rapporto tra l'area di un quadrato e quella del cerchio ad esso inscritto, ovvero 4/pigreco. Data l'altezza h del segmento sferico ad una base, si può calcolare il suo volume con la formula V = pigreco*(h^2)*(3r-h)/3, dove r è il raggio della sfera. Nel nostro caso, h = 1-sqrt(2)/2. Mettendo tutto insieme possiamo calcolare il volume del solido, che è 2*sqrt(2)+6*(4/pigreco)*pigreco*((1-sqrt(2)/2)^2)*(3-1+sqrt(2)/2)/3 = 2*sqrt(2)+(4+sqrt(2))*(2-sqrt(2))^2 = 8*(2-sqrt(2)).
Anzitutto, le facce di quel solido sono 12. Per vederlo, si consideri il cubo di spigolo lungo sqrt(2) (radice quadrata di 2) centrato nell'origine, ed avente gli spigoli paralleli agli assi. E' chiaro che questo cubo è inscritto nel nostro solido. Inoltre, ogni spigolo del cubo appartiene ad una faccia del solido, e la taglia a metà. Quindi il solido può essere visto come l'unione del cubo e di 6 "volte a crociera", una per ogni faccia. Ogni volta a crociera si ottiene intersecando 2 soli cilindri. Il solido ha 14 vertici, uno per ogni vertice ed ogni faccia del cubo. Le facce sono "rombi curvi" tutti uguali tra loro. In ogni vertice corrispondente ad un vertice del cubo concorrono 3 facce, mentre in ogni vertice corrispondente ad una faccia del cubo concorrono 4 facce.
Ora che abbiamo capito com'è fatto il solido intersezione, possiamo agevolmente calcolarne la superficie. Infatti, esattamente 4 sue facce appartengono alla superficie di uno dei cilindri generatori, e la loro unione misura esattamente la metà della superficie laterale di un cilindro di raggio 1 e altezza sqrt(2). Quindi la superficie è 3*2*pigreco*sqrt(2)/2 = 3*sqrt(2)*pigreco.
Il volume si ottiene invece sommando al volume del cubo il volume delle 6 volte a crociera. Per trovare il volume di una volta a crociera, si consideri la sfera di raggio 1 centrata nell'origine. Anche la sfera è inscritta nel solido, ed è tangente ad ogni faccia della volta a crociera. Quindi, ogni sezione della volta a crociera parallela alla base, è un quadrato circoscritto al cerchio che è sezione della sfera. Dunque, per il principio di Cavalieri, il rapporto tra il volume della volta a crociera e quello del segmento sferico in essa inscritto è pari al rapporto tra l'area di un quadrato e quella del cerchio ad esso inscritto, ovvero 4/pigreco. Data l'altezza h del segmento sferico ad una base, si può calcolare il suo volume con la formula V = pigreco*(h^2)*(3r-h)/3, dove r è il raggio della sfera. Nel nostro caso, h = 1-sqrt(2)/2. Mettendo tutto insieme possiamo calcolare il volume del solido, che è 2*sqrt(2)+6*(4/pigreco)*pigreco*((1-sqrt(2)/2)^2)*(3-1+sqrt(2)/2)/3 = 2*sqrt(2)+(4+sqrt(2))*(2-sqrt(2))^2 = 8*(2-sqrt(2)).
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