Ipotesi di Cesaro-Stolz

[keine_ahnung]

Ciao a tutti, stavo riflettendo sulle ipotesi del teorema di Cesaro-Stolz nel caso in cui il denominatore tende ad infinito, in particolare sull'ipotesi che la successione al denominatore debba essere definitivamente crescente.
Il motivo per cui questo serva nella dimostrazione è chiaro, ma ragionando intuitivamente su quello che afferma il teorema mi chiedevo se questa ipotesi sia realmente necessaria.
Ho provato a trovare un esempio che dimostri l'ottimalità delle ipotesi, ma non ci sono riuscito. Qualcuno potrebbe gentilmente fornirmi un esempio in cui in mancanza di questa ipotesi il teorema di Cesaro-Stolz cessa di essere vero?

Grazie

[Massimo Gobbino]

Mah, in qualche maniera si dovrebbe riuscire a fregarlo. Prova con

Numeratore = 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 20, ...

Denominatore = 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, ...

[keine_ahnung]

Grazie per la risposta. Ma in questo caso il rapporto delle differenze tra termini successivi ha limite? Non si alterna tra 1 e -1?

[Massimo Gobbino]

Beh, ma Cesaro-Stolz vale in versione liminf-limsup. E in questo esempio non vale.

[keine_ahnung]

Il teorema in versione liminf-limsup implica il teorema in versione limiti veri, ma non potrebbe essere che un teorema valga nel caso di limiti veri ma non in versione liminf-limsup? Per quello stavo cercando due successioni per cui anche nel caso di limiti veri il teorema di Cesaro-Stolz non valga.
Intendo sempre nell'ipotesi di assenza di monotonia al denominatore.

[Massimo Gobbino]

Quello che è abbastanza facile realizzare è che il limite dei rapporti delle differenze esiste (ad esempio fa 1), mentre quello dei rapporti senza differenze non esiste. Questo da solo vanifica l'utilità del criterio.

Certo sarebbe bello capire se c'è un esempio in cui esistono entrambi, magari pure finiti, e sono diversi.

[keine_ahnung]

Scusi se disturbo ancora, ma quali sono le due successioni per cui avviene che il limite del rapporto delle differenze è 1 mentre il limite del rapporto non esiste?

[Massimo Gobbino]

Certo sarebbe bello capire se c'è un esempio in cui esistono entrambi, magari pure finiti, e sono diversi.

La notte porta consiglio, a discapito di un'ora di sonno.

[+] Aiutino

Prendere due successioni che crescono abbastanza lentamente, e poi aggiungere delle oscillazioni costanti.

[+] Esempio

\(\large a_n=2021\sqrt{n}+(-1)^n\)

\(\large b_n=\sqrt{n}+(-1)^n\)

[keine_ahnung]

Grazie mille! Davvero gentilissimo.