Sviluppi Taylor

[Ghin]

Buonasera,
avrei dei dubbi su degli sviluppi di Taylor di due funzioni.

\(f(x,y)= \dfrac{x^2y^3 + \sin(x^2y)}{1 + x^4 + |y|^7}\)

La richiesta e' di classificare l'origine.
Io ho provato a sviluppare la funzione, ma ho dei dubbi sull'ordine a cui sviluppare. Ho notato che sviluppando fino al terzo ordine il seno ho un "x^2y +o(terzo grado) ma sviluppando ad un ordine successivo avrei un grado >5 che e' il grado di "x^2y^3" = o(secondo grado) al numeratore. Quindi sviluppo al terzo ordine e "butto via" tutto quello di grado maggiore, ottenendo f(x,y)= x^2y + o( terzo grado).
Non so se il mio ragionamento e' corretto, nel caso fosse sbagliato come avrei potuto ragionare?

\(f(x,y)= x^2 - xy^2 + y^4 -2\arctan(x^2 + y^2)\)

La richiesta e' la solita.
Ho provato a sviluppare l'arctan al secondo ordine ottenendo " x^2 + y^2"
la funzione Allora, "buttando via" I termini di ordine maggiore
f(x,y)= -xy^2 -x^2 -2y^2
E' un procedimento corretto?

[ghisi]

Buonasera,
avrei dei dubbi su degli sviluppi di Taylor di due funzioni.

\(f(x,y)= \dfrac{x^2y^3 + \sin(x^2y)}{1 + x^4 + |y|^7}\)

La richiesta e' di classificare l'origine.
Io ho provato a sviluppare la funzione, ma ho dei dubbi sull'ordine a cui sviluppare. Ho notato che sviluppando fino al terzo ordine il seno ho un "x^2y +o(terzo grado) ma sviluppando ad un ordine successivo avrei un grado >5 che e' il grado di "x^2y^3" = o(secondo grado) al numeratore. Quindi sviluppo al terzo ordine e "butto via" tutto quello di grado maggiore, ottenendo f(x,y)= x^2y + o( terzo grado).
Non so se il mio ragionamento e' corretto, nel caso fosse sbagliato come avrei potuto ragionare?

Lo sviluppo è corretto, ma mi domando se lo hai ottenuto nel modo giusto (dovresti aver usato lo sviluppo di 1/(1+z) per gestire il denominatore, lo hai fatto?) Basta l'ordine 3 per classificare l'origine: ne puoi infatti dedurre che in un intorno dell'origine nel primo quadrante la funzione è positiva e nel terzo è negativa oppure puoi usare che dallo sviluppo ottieni f(t,t) = t^3 + o(t^3)

\(f(x,y)= x^2 - xy^2 + y^4 -2\arctan(x^2 + y^2)\)

La richiesta e' la solita.
Ho provato a sviluppare l'arctan al secondo ordine ottenendo " x^2 + y^2"
la funzione Allora, "buttando via" I termini di ordine maggiore
f(x,y)= -xy^2 -x^2 -2y^2
E' un procedimento corretto?

Se lo sviluppo è al secondo ordine perchè tieni il termine di ordine 3? In ogni caso scritta così non è un'ugualianza, gli o-piccoli vanno sempre messi!
La tua funzione risulta \(-x^2-2y^2 + o(x^2 + y^2)\) quindi l'origine è un punto di massimo locale.