Visto che non interviene nessuno in questo thread interessante, provo a dare qualche aiutino io.
- [+] Hint_Debole
- L'idea di costruire la \(f_\infty\) mandando degli \(x_n\) limitati in una successione \(y_n\) senza sottosuccessioni convergenti è buona, ma occorre scegliere bene gli \(y_n\) in modo da renderla approssimabile.
- [+] Hint_Medio
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Potrebbe essere utile usare, al posto degli \(y_n\) qualsiasi, le somme parziali di una serie assolutamente convergente ma non convergente.
- [+] Hint_Pesante
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Consideriamo un classico pre-Hilbert, ad esempio lo span di una base Hilbertiana \(e_n\) in un Hilbert di dimensione infinita. Consideriamo la serie di \(1/n^2 e_n\). Questa avrebbe tanta voglia di convergere, ma sfortunatamente non può, visto che abbiamo preso solo lo span e non la sua chiusura. Adesso consideriamo la funzione \(f_\infty\) che ad ogni \(x_n\) associa la somma parziale \(S_n\) della serie. Non è difficile vedere che questa non è compatta, ma è approssimabile bene.
Per estendere l'hint precedente, potrebbe essere utile risolvere il seguente
- [+] Esercizio
- In ogni spazio normato V non completo esiste una serie che converge assolutamente ma non converge.
