Semplicità di una curva -- Invariante con problemi in un punto

[Davide Fumagalli]

Salve a tutti, stavo provando a svolgere questo esercizio in cui mi si chiedeva di dimostrare che la curva data è chiusa e semplice: per questo ultima richiesta ho dimostrato tramite il sistema, ma volevo chiedere se si potesse svolgere anche utilizzando un invariante monotono.
All'inizio avevo pensato ad una \(f(x,y) =x/y\), in questo modo, sostituendo x(t) e y(t) otterrei \(\dfrac{\cos t\sin^2 t}{2\sin t\cos t}\), quindi con t diverso dai 2 estremi della curva e ciò mi ha bloccato nel proseguire con questo metodo
C'è una via d'uscita con l'invariante o ci devo rinunciare?
(p.s. non so perché ma alcune lettere delle formule me le scrive in maiuscolo)

[Lorenzo2468]

Ciao, io credo che questo procedimento sia in realtà molto utile. L’unica cosa da considerare in più sono i casi dove il denominatore si annulla e quindi, nel caso in esame, dove \(t = 0 \) e \(t = π/2\). Questi, devono essere verificati impostando il sistema con \(t\) e \(s\). In realtà, da quello che ho capito, questo metodo è equivalente a impostare il sistema con \(t\) e \(s\) e dividere la prima equazione per la seconda; infatti, nel momento in cui si divide devono essere analizzati subito i casi in cui il denominatore si annulla, e tali casi sono, come si può facilmente intuire quelli da verificare con il metodo precedente.

Inoltre, poiché questa curva è chiusa, non esiste un invariante monotono e bisogna necessariamente verificare la semplicità con il sistema.

Vorrei precisare che non sono sicuro al 1000% di quanto scritto sopra ma ho cercato di mettere un po’ insieme i pezzi arrivando (spero) a una risposta plausibile.

[Massimo Gobbino]

Aggiungo qualche commento. Come osservato da Lorenzo, in questo caso non c'è speranza di trovare un invariante globalmente monotono, dal momento che la curva è chiusa. Tuttavia, il ragionamento di Davide si può sfruttare all'interno di una distinzione di casi. La giustificazione rigorosa sarebbe qualcosa del genere.

Consideriamo l'uguaglianza \(\gamma(t)=\gamma(s)\) e distinguiamo tre casi.

• Se t ed s sono entrambi estremi della curva, allora va tutto bene.
• Se t ed s sono entrambi non estremi della curva, allora possiamo dividere come fa Davide ottenendo \(\sin t=\sin s\), da cui t=s dal momento che siamo in un intervallo di monotonia del seno.
• Se uno dei due, diciamo t, è un estremo della curva ed s non lo è, allora \(\gamma(t)=(0,0)\) mentre \(\gamma(s)\neq(0,0)\) (basta vedere la seconda componente), dunque l'uguaglianza non è possibile e questo caso non si pone.

Questo conclude la dimostrazione, visto che abbiamo ottenuto che o t ed s sono entrambi estremi, oppure t=s.

Concludo con una domanda: a cosa corrisponde, dal punto di vista geometrico, considerare la quantità x/y ? A cosa corrisponde la sua iniettività al di fuori degli estremi?

[Lorenzo2468]

Buonasera professore, scrivo adesso solo perchè ho visto il messaggio poco fa.
Premetto che non sono sicurissimo di quello che sto per dire.
Quando vado a sostituire \( x = x(t) , y = y(t)\) in \(f(x,y)\) è come se stessi percorrendo una direzione del piano del tipo \(( cost sin^2t, sin2t )\) con \(0 < t < π/2\) che non è altro che il sostegno della curva stessa. Questo mi farebbe pensare che, quella funzione \(f(x,y) = x/y\) sia iniettiva percorrendo il sostegno della curva dato che \(f(x(t),y(t)) = t\).
(Ho scritto appositamente il minore e non il minore uguale, per non considerare quei due t “critici”)