Integrale triplo nullo

[Federico.M]

Salve, ho il seguente esercizio da risolvere:
Calcolare l'integrale triplo sull'insieme \(D=\{(x,y,z)\in R^3\,:\,x^2+y^2\le 1,\,0\le z\le x^2\}\) della funzione \(f(x,y,z)=\arctan(xy^2z^3)\).
Adesso, è sufficiente affermare che l'integrale è nullo perché la funzione integranda è dispari nella variabile \(x\), la quale varia su un intervallo simmetrico rispetto all'origine, oppure bisogna tenere conto del fatto che la variabile \(z\) varia tra \(0\) e \(x^2\) ?
Grazie in anticipo per eventuali risposte.

[ghisi]

L'importante è la simmetria del dominio rispetto a \(x = 0\) (e ovviamente la "disparità" della funzione). Per convincerti: dividi l'insieme nelle due parti in cui \(x\) è positivo e \(x\) è negativo. Avresti due integrali da calcolare, per il secondo fai un cambio di variabili (\(x = - u\)): con questo cambio diventa il primo intergrale cambiato di segno quindi la somma è nulla. In un certo senso stai tenendo conto di dove varia \(z\): lo fai nel momento in cui dici che il domino è simmetrico (è più che dire che \(x\) varia in un intervallo simmetrico).

[Federico.M]

Grazie per le indicazioni professoressa Ghisi..

[Federico.M]

Allego file PDF con svolgimento dell'esercizio, sperando di aver seguito correttamente le indicazioni ricevute…

[ghisi]

Allego file PDF con svolgimento dell'esercizio, sperando di aver seguito correttamente le indicazioni ricevute…

Si è corretto, a parte che \(x = 0\) non è l'asse delle \(y\) in \(R^3\)

[Federico.M]

Già, dovrebbe essere il piano \(yz\) … .
Grazie per la correzione professoressa Ghisi…