Teorema del Dini

[Mirko]

Buongiorno, mi chiedevo, è possibile trovare un esempio di funzione F(x,y)=0 che NON soddisfa le ipotesi del teorema del Dini in (x0,y0), ma che definisce ugualmente un funzione implicita y(x) in (x0,y0)?
Grazie

Ps. Mi è venuto questo dubbio guardando un film sulla vita di Renato Caccioppoli, dal titolo "Morte di un matematico napoletano", nel quale il prof. Caccioppoli pone proprio questa domanda a un esame...

[Vagrant]

Un tentativo, potenzialmente overkill (o completamente sbagliato - sono alle prime armi con il teorema del Dini!): consideriamo la funzione \(g(x,y)\) che vale \(1\) in \((0,0)\) e \(0\) su \(\mathbb{R}^2\setminus{(0,0)}\), e studiamo il luogo di zeri di \(f(x,y)=x+y+g(x,y)-1\)

La funzione \(f(x,y)\) è discontinua in \((0,0)\), essendo tale \(g(x,y)\), quindi siamo fuori dalle ipotesi del teorema del Dini. D'altro canto possiamo esplicitare \(y\) in funzione di \(x\), mediante la funzione \(h(x)\) che vale \(0\) nell'origine e \(1-x\) altrove. Quindi posso esplicitare il luogo degli zeri di \(f(x,y)\) nonostante quest'ultima non sia una funzione continua.

[Massimo Gobbino]

Buongiorno, mi chiedevo, è possibile trovare un esempio di funzione F(x,y)=0 che NON soddisfa le ipotesi del teorema del Dini in (x0,y0), ma che definisce ugualmente un funzione implicita y(x) in (x0,y0)?

Il modo più banale di farlo è prendere una \(f(x,y)\) che verifica le ipotesi e poi prendere il suo quadrato. Definisce lo stesso luogo di zeri, ma il gradiente si annulla in tutto il luogo di zeri.

Ad esempio \(f(x,y)=y^2\) definisce l'asse x, ma il suo gradiente ...