Teorema del Dini

[Mirko]

Buongiorno, mi chiedevo, è possibile trovare un esempio di funzione F(x,y)=0 che NON soddisfa le ipotesi del teorema del Dini in (x0,y0), ma che definisce ugualmente un funzione implicita y(x) in (x0,y0)?
Grazie

Ps. Mi è venuto questo dubbio guardando un film sulla vita di Renato Caccioppoli, dal titolo "Morte di un matematico napoletano", nel quale il prof. Caccioppoli pone proprio questa domanda a un esame...

[Vagrant]

Un tentativo, potenzialmente overkill (o completamente sbagliato - sono alle prime armi con il teorema del Dini!): consideriamo la funzione $g(x,y)$ che vale $1$ in $(0,0)$ e $0$ su $\mathbb{R}^2\setminus{(0,0)}$, e studiamo il luogo di zeri di $f(x,y)=x+y+g(x,y)-1$

La funzione $f(x,y)$ è discontinua in $(0,0)$, essendo tale $g(x,y)$, quindi siamo fuori dalle ipotesi del teorema del Dini. D'altro canto possiamo esplicitare $y$ in funzione di $x$, mediante la funzione $h(x)$ che vale $0$ nell'origine e $1-x$ altrove. Quindi posso esplicitare il luogo degli zeri di $f(x,y)$ nonostante quest'ultima non sia una funzione continua.

[Massimo Gobbino]

Buongiorno, mi chiedevo, è possibile trovare un esempio di funzione F(x,y)=0 che NON soddisfa le ipotesi del teorema del Dini in (x0,y0), ma che definisce ugualmente un funzione implicita y(x) in (x0,y0)?

Il modo più banale di farlo è prendere una $f(x,y)$ che verifica le ipotesi e poi prendere il suo quadrato. Definisce lo stesso luogo di zeri, ma il gradiente si annulla in tutto il luogo di zeri.

Ad esempio $f(x,y)=y^2$ definisce l'asse x, ma il suo gradiente ...