Simulazione scritto d'esame 3

[Massimo Gobbino]

Come da tradizione, ecco la simulazione di scritto settimanale. Se però non serve a nulla ditelo, che trovo di meglio da fare .

[GIMUSI]

per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) [tex]\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)[/tex]

(b) [tex](-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)[/tex]

(c) [tex]x-2y+4z+3=0[/tex]

[GIMUSI]

per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per [tex]V[/tex]

[tex]v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

base ortonormale per [tex]V^\perp[/tex]

[tex]w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

(b) matrice proiezione ortogonale su [tex]V[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}[/tex]

[GIMUSI]

per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

[tex]\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}[/tex]

(b) dimensione del ker(f)

[tex]\alpha\neq-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=0[/tex]

[tex]\alpha=-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=1[/tex]

[Giorgio9092]

per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) [tex]\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)[/tex]

(b) [tex](-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)[/tex]

(c) [tex]x-2y+4z+3=0[/tex]

Come ti è venuta l' equazione del piano? Io ho provato a costruire la retta passante per il punto D e perpendicolare al piano ABC ma trovo dei punti diversi che non mi soddisfano neanche l' appartenenza! Non trovo l' errore.

[Giorgio9092]

per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per [tex]V[/tex]

[tex]v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

base ortonormale per [tex]V^\perp[/tex]

[tex]w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})[/tex]

(b) matrice proiezione ortogonale su [tex]V[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}[/tex]

Questo ok, ma per trovare la matrice basta solo mettere i vettori trovati in precedenza?

[GIMUSI]

per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) [tex]\left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)[/tex]

(b) [tex](-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)[/tex]

(c) [tex]x-2y+4z+3=0[/tex]

Come ti è venuta l' equazione del piano? Io ho provato a costruire la retta passante per il punto D e perpendicolare al piano ABC ma trovo dei punti diversi che non mi soddisfano neanche l' appartenenza! Non trovo l' errore.

visto che il piano contiene il vettore CD ed è parallelo ad AB, una sua normale è data un qualsiasi vettore ortogonale a CD e AB

con la "formula misteriosa" si trova [tex]n=(-1,2,-4)[/tex] da cui [tex]x-2y+4z+d=0[/tex]

il parametro [tex]d[/tex] è detrminato imponendo il passaggio per C o per D

[Giorgio9092]

visto che il piano contiene il vettore CD ed è parallelo ad AB, una sua normale è data un qualsiasi vettore ortogonale a CD e AB

con la "formula misteriosa" si trova [tex]n=(-1,2,-4)[/tex] da cui [tex]x-2y+4z+d=0[/tex]

il parametro [tex]d[/tex] è detrminato imponendo il passaggio per C o per D

Scusa ma non ho capito, perchè il piano dovrebbe contenere CD? E CD parallelo a AB? Quelle non sono solo le condizioni richieste dell' ultimo punto?

[GIMUSI]

Questo ok, ma per trovare la matrice basta solo mettere i vettori trovati in precedenza?

io ho fatto così:

- si determina la matrice [tex]A[/tex] di proiezione su [tex]V[/tex] mettendo nelle prime due colonne [tex]v_1[/tex] e [tex]v_2[/tex] (in base canonica) con le restanti due nulle;

- in tal modo la matrice di proiezione A prende in input vettori in base [tex]v_1,v_2,w_1,w_2[/tex] e ne restituisce la proiezione su [tex]V[/tex] in base canonica;

- si costruisce la matrice [tex]M[/tex] di cambio di "base non canonica"[tex]\rightarrow[/tex]"base canonica", cioè la matrice che ha come colonne [tex]v_1,v_2,w_1,w_2[/tex] in base canonica;

- si inverte M (qui conviene sfruttare il fatto che M è multiplo di una matrice ortogonale);

- si determina la matrice di proiezione nella base canonica [tex]AM^-^1[/tex]

[GIMUSI]

Scusa ma non ho capito, perchè il piano dovrebbe contenere CD? E CD parallelo a AB? Quelle non sono solo le condizioni richieste dell' ultimo punto?

pensavo ti riferissi la punto (c), invece mi pare che tu stia parlando del punto (a)

[Giorgio9092]

Si, era il piano del punto a che ti chiedevo!

[Giorgio9092]

Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora scusa

[GIMUSI]

Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora scusa

per il piano [tex]ABC[/tex] ho determinato la normale ai vettori [tex]AB[/tex] e [tex]AC[/tex] [tex]n=(3,-2,4)[/tex] e ho imposto il passaggio per [tex]C (d=5)[/tex]: [tex]3x-2y+4z+5=0[/tex]

la retta ortogonale al piano e passante per [tex]D[/tex] è [tex](-3+3t,2-2t,1+4t)[/tex]

imponendo l'appartenenza al piano si trova [tex]t=4/29[/tex]

[Neomatrix092]

Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio?
Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?

[GIMUSI]

Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio?
Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?

la risposta è nella lezione 16 "Teorema di struttura: una applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che assume in una base"

quindi dovrebbe essere sufficiente trovare i valori di alfa e beta che rendono i vettori di partenza una base

se sono una base li puoi mandare dove vuoi, quindi alfa dovrebbe poter esser libero