Cambi di base 3

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test 35 "Cambi di base 3"

[alex994]

scusa GIMUSI ma la soluzione del secondo esercizio, colonna di destra mi viene
0 2 0
0 0 1
2 1 0

Per arrivare a questo risultato ho adottato un metodo credo "bovino", ovvero :
ho scritto la matrice N con le basi in arrivo, usando come vettori
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1); poi ho fatto la sua inversa.
dopo di che ho fatto la matrice M con i vettori in arrivo, usando f(v1),f(v2),f(v3).
dopo di ciò ho fatto N^-1*M.

[GIMUSI]

scusa GIMUSI ma la soluzione del secondo esercizio, colonna di destra mi viene
0 2 0
0 0 1
2 1 0

Per arrivare a questo risultato ho adottato un metodo credo "bovino", ovvero :
ho scritto la matrice N con le basi in arrivo, usando come vettori
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1); poi ho fatto la sua inversa.
dopo di che ho fatto la matrice M con i vettori in arrivo, usando f(v1),f(v2),f(v3).
dopo di ciò ho fatto N^-1*M.

c'è qualcosa che non mi torna...personalmente l'ho fatto a occhio...col metodo "bovino" procederei nel modo seguente:

il primo passo è determinare la matrice [tex]A[/tex] associata a [tex]f[/tex] nella base (in partenza e arrivo) [tex]v_1,v_2,v_3[/tex]


[tex]A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/tex]

il secondo passo è definire la matrice di cambio di base [tex]M[/tex]; per l'esercizio cui ti riferisci la nuova base in partenza e arrivo diventa [tex]v_2,v_3,v_1[/tex]...pertanto

[tex]M=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}[/tex]

e la sua inversa è

[tex]M^-^1=M^t=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/tex]

ora M rappresenta il cambio di base dalla nuova alla vecchia quindi la matrice nella nuova base risulta

[tex]M^-^1AM=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/tex]

puoi anche fare una verifica diretta di questo tipo...si sa ad esempio che

[tex]f(v_2) = 2v_2[/tex]

allora nella nuova base, che ha [tex]v_2[/tex] come primo vettore, la prima colonna della matrice associata deve essere [tex](2,0,0)[/tex]

e così via per le altre colonne

[alex994]

si ora mi torna il conto, avevo sbagliato l'inversa nella foga di fare gli esercizi

[GIMUSI]

si ora mi torna il conto, avevo sbagliato l'inversa nella foga di fare gli esercizi

ma hai usato lo stesso metodo?

non ho capito nella tua spiegazione precedente cosa sia la matrice [tex]N[/tex] con la quale poi calcoli [tex]N^-^1M[/tex]

[alex994]

si ora mi torna il conto, avevo sbagliato l'inversa nella foga di fare gli esercizi

ma hai usato lo stesso metodo?

non ho capito nella tua spiegazione precedente cosa sia la matrice [tex]N[/tex] con la quale poi calcoli [tex]N^-^1M[/tex]

la mia matrice N^-1 sarebbe la tua M^-1

[GIMUSI]

si ora mi torna il conto, avevo sbagliato l'inversa nella foga di fare gli esercizi

ma hai usato lo stesso metodo?

non ho capito nella tua spiegazione precedente cosa sia la matrice [tex]N[/tex] con la quale poi calcoli [tex]N^-^1M[/tex]

la mia matrice N^-1 sarebbe la tua M^-1

ok...quindi, con i tuoi simboli, la tua [tex]M[/tex] è il prodotto [tex]AN[/tex]

[tex]AN=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0
\end{pmatrix}[/tex]

che rappresenta la matrice associata all'applicazione con base di partenza nuova e arrivo nella vecchia e che moltiplicata a sinistra per

[tex]N^-^1=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/tex]

ti dà la matrice cercata

così è ancora meglio perché si fa un prodotto matriciale in meno

[AntiLover]

Quando devo determinare le matrici che rappresentano l'applicazione f (mi riferisco quindi all'esercizio che viene dopo la tabella), dovrei fare il procedimento inverso o no? Solo che mi viene difficile farlo. Utilizzando un metodo superbovino mi trovo con alcune matrici, quindi presumo che questo procedimento creato da me non sia per niente lecito!! quindi come devo procedere? Grazie

[GIMUSI]

Quando devo determinare le matrici che rappresentano l'applicazione f (mi riferisco quindi all'esercizio che viene dopo la tabella), dovrei fare il procedimento inverso o no? Solo che mi viene difficile farlo. Utilizzando un metodo superbovino mi trovo con alcune matrici, quindi presumo che questo procedimento creato da me non sia per niente lecito!! quindi come devo procedere? Grazie

a suo tempo li ho risolti con metodo diretto...e non è detto che le soluzioni siano tutte corrette...mi sono riproposto di verificarlo anche con il metodo matriciale...

credo che si possa procedere nel modo seguente...

se [tex]M[/tex] è la matrice cambio base che ha per colonne le componenti della nuova base rispetto alla vecchia...

effettuare il cambio base in arrivo equivale a moltiplicare la matrice A (in base [tex]v_1,v_2,v_3[/tex]) per la matrice [tex]M^-^1[/tex]

[tex]A^*=M^-^1A[/tex]

quindi

[tex]M^-^1=A^*A^-^1[/tex]

da cui si può ricavare [tex]M[/tex] e quindi le componenti della nuova base rispetto alla vecchia

appena posso provo a rifarlo con questa procedura